Повна система числення. Системи числення. Основні поняття. Вавилонська система числення

Що таке система числення?

Що таке система числення? Система числення - це сукупність прийомів і правил, якими числа записуються і читаються.

Існують позиційні та непозиційні системи числення.

У непозиційних системах числення вага цифри (тобто той внесок, який вона вносить у значення числа) не залежить від її позиції у записі числа. Так, у римській системі числення в числі ХХХII (тридцять два) вага цифри Х у будь-якій позиції дорівнює просто десяти.

У позиційних системах числення вага кожної цифри змінюється в залежності від її положення (позиції) у послідовності цифр, що зображають число. Наприклад, серед 757,7 перша сімка означає 7 сотень, друга - 7 одиниць, а третя - 7 десятих часток одиниці.

Сама ж запис числа 757,7 означає скорочений запис виразу:

Будь-яка позиційна система числення характеризується своєю основою.

Основа позиційної системи числення - кількість різних цифр, використовуваних зображення чисел у цій системі числення.

За основу системи можна прийняти будь-яке натуральне число – два, три, чотири тощо. Отже, можливо безліч позиційних систем: двійкова, трійкова, четвіркова і т.д.

Як породжуються цілі числа у позиційних системах числення?

У кожній системі числення цифри впорядковані відповідно до їх значень: 1 більше 0, 2 більше 1 і т.д.

Просуванням цифри називають заміну її наступної за величиною.

Просунути цифру 1 означає замінити її на 2, просунути цифру 2 означає замінити на 3 і т.д. Просування старшої цифри (наприклад, цифри 9 у десятковій системі) означає заміну її на 0. У двійковій системі, яка використовує лише дві цифри - 0 і 1, просування 0 означає заміну на 1, а просування 1 - заміну її на 0.

Для утворення цілого числа, наступного за будь-яким даним цілим числом, потрібно просунути найправішу цифру числа; якщо будь-яка цифра після просування стала банкрутом, потрібно просунути цифру, що стоїть ліворуч від неї.

Застосовуючи це правило, запишемо перші десять цілих чисел

· У двійковій системі: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;

· У троїчній системі: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;

· У п'ятирічній системі: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;

· У вісімковій системі: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

Крім десяткової широко використовуються системи з основою, що є цілим ступенем числа 2, а саме:

Двійкова система	Четверинна система	Вісімкова система	Десяткова система	Шістнадцяткова система
1	1	1	1	1
10	2	2	2	2
11	3	3	3	3
100	10	4	4	4
101	11	5	5	5
110	12	6	6	6
111	13	7	7	7
1000	20	10	8	8
1001	21	11	9	9
1010	22	12	10	A
1011	23	13	11	B
1100	30	14	12	C
1101	31	15	13	D
1110	32	16	14	E
1111	33	17	15	F
10000	40	20	16	10

Чому люди користуються десятковою системою, а комп'ютери – двійковою?

Люди віддають перевагу десятковій системі, мабуть, тому, що з давніх часів рахували на пальцях, а пальців у людей по десять на руках і ногах. Не завжди і скрізь люди користуються десятковою системою числення. У Китаї, наприклад, тривалий час користувалися п'ятирічною системою числення.

А комп'ютери використовують двійкову систему тому, що вона має низку переваг перед іншими системами:

· Для її реалізації потрібні технічні пристрої з двома стійкими станами (є струм - немає струму, намагнічений - не намагнічений тощо), а не, наприклад, з десятьма, - як у десятковій;

· Подання інформації за допомогою тільки двох станів надійно і завадостійке;

· Можливе застосування апарату булевої алгебри для виконання логічних перетворень інформації;

· Двійкова арифметика набагато простіше десяткової.

Недолік двійкової системи - швидке зростання числа розрядів, необхідні записи чисел.

Чому в комп'ютерах використовуються також вісімкова та шістнадцяткова системи числення?

Двійкова система, зручна для комп'ютерів, для людини незручна через її громіздкість та незвичний запис.

Переведення чисел із десяткової системи у двійкову і навпаки виконує машина. Проте, щоб професійно використовувати комп'ютер, слід навчитися розуміти слово машини. Для цього і розроблено вісімкову та шістнадцяткову системи.

Числа в цих системах читаються майже так само легко, як десяткові, вимагають відповідно у три (вісімкова) і в чотири (шістнадцяткове) рази менше розрядів, ніж у двійковій системі (адже числа 8 і 16 - відповідно, третій та четвертий ступеня числа 2) .

Переведення чисел з однієї системи числення до іншої

Кількість p різних цифр, що у позиційної системі визначає назву системи числення і називається основою системи числення – "p". Будь-яке число N у позиційній системі числення з основою p може бути представлене у вигляді полінома від основи p:

N = a n p n +a n-1 p n-1 + ... +a 1 p+a 0 +a -1 p -1 +a -2 p -2 + ... (1.1)

тут N – число, a j – коефіцієнти (цифри числа), p – основа системи числення (p>1). Прийнято представляти числа як послідовності цифр:

N = n a n -1 ... a 1 a 0 . a -1 a -2 ...

Переведення чисел у десяткову систему здійснюється шляхом складання статечного ряду з основою тієї системи (див. формулу 1.1), з якої число перекладається. Потім підраховується сума.

Переведення цілих десяткових чисел у недесяткову систему числення здійснюється послідовним розподілом десяткового числа на підставу тієї системи, в яку воно перекладається, доки не вийде приватна менша від цієї підстави. Число нової системі записується як залишків розподілу, починаючи з останнього.

Приклад: Перекладемо число 75 із десяткової системи в двійкову, вісімкову та шістнадцяткову:

Відповідь: 75 10 = 1 001 011 2 = 113 8 = 4B 16 .

Переклад правильних дробів із десяткової системи числення в десяткову. Для переведення правильного десяткового дробу в іншу систему цей дріб треба послідовно множити на підставу тієї системи, в яку вона переводиться. При цьому множаться лише дробові частини. Дроб у новій системі записується у вигляді цілих частин творів, починаючи з першого.

приклад. Перекладемо число 0,36 з десяткової системи в двійкову, вісімкову та шістнадцяткову:

Для переведення неправильного десяткового дробу в систему числення з десятковою основою необхідно окремо перевести цілу частину та окремо дробову. Перекласти 23.125 10 2 с.с.

Системи числення називаються кратними, якщо виконується співвідношення: S = R N , де S, R - основи систем числення, N - ступінь кратності (ціле число: 2, 3 ...).

Для перекладу числа із системи числення R в кратну їй систему числення S надходять таким чином: рухаючись від точки вліво і вправо, розбивають число на групи N розрядів, доповнюючи при необхідності нулями крайні ліву і праву групи. Потім групу замінюють відповідною цифрою системи обчислення S.

Перекласти 1101111001.1101 2 "8" с.с.	Перекласти 11111111011.100111 2 "16" с.с.

Для перекладу числа із системи числення S в кратну їй систему числення R досить замінити кожну цифру цього числа відповідним числом системи обчислення R, при цьому відкидають незначні нулі в старших (00512) і молодших (15,124000) розрядах.

Перекласти 305.4 8 "2" с.с.	Перекласти 7B2.E 16 "2" с.с.

Якщо потрібно виконати переклад із системи числення S в R, за умови, що вони не є кратними, тоді потрібно спробувати підібрати систему числення K, таку що: S = K N і R = K N .

Перекласти 175.24 8 "16" с.с.

Результат: 175.24 8 = 7D.5 16 .

Якщо систему числення K підібрати не вдається, тоді слід виконати переклад використовуючи як проміжну десяткову систему числення.

Для всього цього приклади

Переведення вісімкових і шістнадцяткових чисел у двійкову систему дуже простий: досить кожну цифру замінити еквівалентною їй двійковою тріадою (трійкою цифр) або зошитом (четвіркою цифр).

Наприклад:

Щоб перевести число з двійкової системи у вісімкову або шістнадцяткову, його потрібно розбити вліво та вправо від коми на тріади (для вісімкової) або зошити (для шістнадцяткової) та кожну таку групу замінити відповідною вісімковою (шістнадцятковою) цифрою. Наприклад:

Додавання в різних системах числення

Таблиці складання легко скласти, використовуючи Правило Рахунку.

Віднімання у різних системах числення

Розмноження в різних системах числення

Виконуючи множення багатозначних чисел у різних позиційних системах числення, можна використовувати звичайний алгоритм перемноження чисел у стовпчик, але при цьому результати перемноження та складання однозначних чисел необхідно запозичувати з відповідних аналізованої системі таблиць множення та додавання.

Поділ у різних системах числення

Поділ у будь-якій позиційній системі числення проводиться за тими самими правилами, як і поділ кутом у десятковій системі. У двійковій системі розподіл виконується особливо просто, адже чергова цифра частки може бути лише нулем або одиницею.

Помножувати на основу нової системи числення до тих пір, поки в новому дробі не буде потрібної кількості цифр, що визначається необхідною точністю представлення дробу. Правильний дріб у новій системі числення записується з цілих частин творів, що виходять при послідовному множенні, причому перша ціла частина буде старшою цифрою нового дробу. Розглянемо як приклад...

Уявлення в них досить великих чисел, тому що при цьому виходить надзвичайно громіздкий запис чисел або потрібен великий алфавіт використовуваних цифр. У ЕОМ застосовують лише позиційні системи числення, у яких кількісний еквівалент кожної цифри алфавіту залежить лише від виду цієї цифри, а й від її розташування у записі числа. Позиційні системи числення У...

Послідовності 0 і 1. Наприклад, ціле невід'ємне число А2=Т 111100002 буде зберігатися в осередку наступним чином: 1 1 1 1 0 0 0 0 Значить, ми можемо записати всі числа від 0 до 255 в двійковій системі числення в 1 осередку пам'яті. 2.2 Подання чисел у комп'ютері Цілі числа в комп'ютері зберігаються в комірках пам'яті, у цьому випадку кожному розряду комірки пам'яті відповідає...

На ранніх щаблях розвитку суспільства люди майже не вміли рахувати. Вони розрізняли сукупності двох та трьох предметів; всяка сукупність, що містила більшу кількість предметів, об'єднувалася в понятті «багато». Предмети за рахунку зіставлялися зазвичай із пальцями рук та ніг. З розвитком цивілізації потреба людини у рахунку стала необхідною. Спочатку натуральні числа зображалися за допомогою деякої кількості рисок або паличок, потім їх зображення стали використовувати літери або спеціальні знаки. У Стародавньому Новгороді використовувалася слов'янська система, де застосовувалися літери слов'янського алфавіту; під час зображення чисел над ними ставився знак ~ (титло).

Стародавні римляни користувалися нумерацією, що зберігається досі під ім'ям «римської нумерації», в якій цифри зображаються літерами латинського алфавіту. Наразі нею користуються для позначення ювілейних дат, нумерації деяких сторінок книги (наприклад, сторінок передмови), розділів у книгах, строф у віршах тощо. У пізнішому вигляді римські цифри виглядають так:

I = 1; V = 5; X = 10; L = 50; З = 100; D = 500; M=1000.

Про походження римських цифр достовірних відомостей немає. Цифра V могла спочатку бути зображенням кисті руки, а цифра Х могла складатися з двох п'ятірок. У римській нумерації виразно позначаються сліди п'ятирічної системи числення. Всі цілі числа (до 5000) записуються за допомогою повторення наведених вище цифр. При цьому, якщо більша цифра стоїть перед меншою, то вони складаються, якщо ж менша стоїть перед більшою (у цьому випадку вона не може повторюватися), то менша віднімається від більшої). Наприклад, VI = 6, тобто. 5+1, IV=4, тобто. 5 – 1, XL = 40, тобто. 50 – 10, LX = 60, тобто. 50 + 10. Підряд одна й та сама цифра ставиться не більше трьох разів: LXX = 70; LXXX = 80; число 90 записується ХС (а чи не LXXXX).

Перші 12 чисел записуються в римських цифрах так:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII. IX, X, XI, XII.

Інші числа записуються, наприклад, як:

XXVIII = 28; ХХХIХ = 39; CCCXCVII = 397; MDCCCXVIII = 1818.

Виконання арифметичних дій над багатозначними числами цього запису дуже важко. Проте, римська нумерація переважала Італії до 13 в., а інших країнах Західної Європи – до 16 в.

У слов'янській системі нумерації для запису чисел використовувалися всі літери алфавіту, щоправда, з деяким порушенням алфавітного порядку. Різні літери означали різну кількість одиниць, десятків та сотень. Наприклад, число 231 записувалося у вигляді ~ СЛА (C – 200, Л – 30, А – 1).

Цим системам властиві два недоліки, які призвели до їх витіснення іншими: необхідність великої кількості різних знаків, особливо зображення великих чисел, і, що ще важливіше незручність виконання арифметичних операцій.

Більш зручною і загальноприйнятою і найпоширенішою є десяткова система числення, яка була винайдена в Індії, запозичена там арабами, а потім через деякий час прийшла до Європи. У десятковій системі числення основою є число 10.

Існували системи обчислення та з іншими підставами. У Стародавньому Вавилоні, наприклад, застосовувалася шістдесяткова система числення. Залишки її ми знаходимо в розподілі години або градуса, що збереглася досі, на 60 хвилин, а хвилини - на 60 секунд.

Широке поширення мала у давнину і дванадцяткова система, походження якої, ймовірно, пов'язано, як і десяткової системи, з рахунком на пальцях: за одиницю рахунку приймалися фаланги (окремі суглоби) чотирьох пальців однієї руки, які за рахунку перебиралися великим пальцем тієї ж руки. Залишки цієї системи числення збереглися і до наших днів і в мовленні, і в звичаях. Відомо, наприклад, назва одиниці другого розряду – числа 12 – «дюжина». Зберігся звичай вважати багато предметів не десятками, а дюжинами, наприклад столові прилади в сервізі або стільці в меблевому гарнітурі. Назва одиниці третього розряду в дванадцятковій системі – гросс – зустрічається тепер рідко, але у торгової практиці початку століття воно ще існувало. Наприклад, у написаному в 1928 р. вірші ПлюшкінВ.В.Маяковський, висміюючи людей, скуповували все поспіль, писав: «...купив дванадцять гроссів диригентських паличок». У ряду африканських племен і в Стародавньому Китаї була уживана п'ятіркова система числення. У Центральній Америці (у стародавніх ацтеків і майя) і серед стародавніх кельтів, що населяли Західну Європу, була поширена двадцятерична система. Усі вони також пов'язані з рахунком на пальцях.

Наймолодшою системою числення по праву вважатимуться двійкову. Ця система має ряд якостей, що робить її дуже вигідною для використання в обчислювальних машинах та в сучасних комп'ютерах.

Позиційні та непозиційні системи числення.

Різноманітні системи числення, які існували раніше і які використовуються в наш час, можна поділити на непозиційні та позиційні. Знаки, які використовуються під час запису чисел, називаються цифрами.

У непозиційних системах числення від становища цифри запису числа залежить величина, що вона позначає. Прикладом непозиційної системи числення є римська система, у якій як цифри використовуються латинські літери.

У позиційних системах числення величина, що позначається цифрою запису числа, залежить від її позиції. Кількість використовуваних цифр називається основою системи числення. Місце кожної цифри у числі називається позицією. Перша відома нам система, заснована на позиційному принципі – шістдесятирічна вавилонська. Цифри у ній були двох видів, однією з позначалися одиниці, іншим – десятки.

Проте найбільш уживаною виявилася індо-арабська десяткова система. Індійці першими використовували нуль для вказівки значущості позиційної величини в рядку цифр. Ця система отримала назву десяткової , тому що в ній десять цифр.

Відмінність між позиціною та непозиційною систем обчислення найлегше зрозуміти на прикладі порівняння двох чисел. У позиційній системі числення порівняння двох чисел відбувається так: у розглянутих числах зліва направо порівнюються цифри, що стоять у однакових позиціях. Велика цифра відповідає більшому значенню числа. Наприклад, для чисел 123 і 234, 1 менше 2, тому число 234 більше ніж число 123. У непозиційній системі числення це правило не діє. Прикладом цього може бути порівняння двох чисел IX і VI. Незважаючи на те, що I менше ніж V, число IX більше, ніж число VI.

Позиційні системи числення.

Основа системи числення, у якій записано число, зазвичай позначається нижнім індексом. Наприклад, 5557 - число, записане в семеричній системі числення. Якщо число записано у десятковій системі, то підстава, зазвичай, не вказується. Основа системи – це теж число, і його ми будемо вказувати у звичайній десятковій системі. Взагалі, число xможе бути представлено в системі з основою p, як x = a n· p n+a n- 1 · p n–1 + a 1· p 1 + a 0· p 0, де a n...a 0 – цифри у поданні даного числа. Так наприклад,

1035 10 = 1 · 10 3 + 0 · 10 2 + 3 · 10 1 + 5 · 10 0;

1010 2 = 1 · 2 3 + 0 · 2 2 + 1 · 2 1 + 0 · 2 0 = 10.

Найбільший інтерес при роботі на ЕОМ представляють системи числення з підставами 2, 8 і 16. Взагалі кажучи, цих систем числення зазвичай вистачає для повноцінної роботи як людини, так і обчислювальної машини, проте іноді через різні обставини все-таки доводиться звертатися до інших систем числення, наприклад, до троїчної, семеричної або системи числення на підставі 32.

Щоб оперувати з числами, записаними в таких нетрадиційних системах, потрібно мати на увазі, що вони нічим не відрізняються від звичної десяткової. Додавання, віднімання, множення в них здійснюється за однією і тією ж схемою.

Чому ж не використовуються інші системи числення? В основному, тому, що в повсякденному життілюди звикли користуватися десятковою системою числення, і не потрібно жодної іншої. У обчислювальних машинах використовується двійкова система числення, так як оперувати числами, записаними в двійковому вигляді, досить просто.

Часто в інформатиці використовують шістнадцяткову систему, оскільки запис чисел у ній значно коротший за запис чисел у двійковій системі. Може виникнути питання: чому не використовувати для запису дуже великих чисел систему числення, наприклад на підставі 50? Для такої системи числення необхідні 10 звичайних цифр плюс 40 знаків, які б відповідали числам від 10 до 49 і навряд чи кому-небудь сподобається працювати з цими сорока знаками. Тому в реальному житті системи числення на підставі, більшій за 16, практично не використовуються.

Переклад чисел із однієї системи числення до іншої.

Найбільш часто зустрічаються системи числення - це двійкова, шістнадцяткова і десяткова. Як пов'язані між собою уявлення числа у різних системах числення? Існують різні способи перекладу чисел з однієї системи числення в іншу на конкретних прикладах.

Нехай потрібно перевести число 567 з десяткового до двійкової системи. Спочатку визначається максимальна міра двійки, така, щоб два в цьому ступені було менше або дорівнює вихідному числу. У разі це 9, т.к. 29 = 512, а 210 = 1024, що більше початкового числа. Таким чином виходить число розрядів результату, воно дорівнює 9 + 1 = 10, тому результат матиме вигляд 1 ххххххххх, де замість хможуть стояти будь-які двійкові цифри. Друга цифра результату так – двійка зводиться у ступінь 9 і віднімається з вихідного числа: 567 – 2 9 = 55. Залишок порівнюється з числом 2 8 = 256. Оскільки 55 менше 256, то дев'ятий розряд – нуль, тобто. результат має вигляд 10 хххххххх. Розглянемо восьмий розряд. Оскільки 2 7 = 128 > 55, то він буде нульовим.

Сьомий розряд також виявляється нульовим. Шуканий двійковий запис числа набуває вигляду 1000 хххххх. 2 5 = 32 ххххх). Для залишку 55 - 32 = 23 справедлива нерівність 24 = 16

567 = 1 · 2 9 + 0 · 2 8 + 0 · 2 7 + 0 · 2 6 + 1 · 2 5 + 1 · 2 4 + 0 · 2 3 + 1 · 2 2 + 1 · 2 1 + 1 · 2 0

При іншому способі переведення чисел використовується операція поділу в стовпчик. Якщо взяти те ж число 567 і розділити його на 2, виходить приватне 283 і залишок 1. Та ж операція проводиться і з числом 283. Приватне - 141, залишок - 1. не стане менше дільника. Тепер, щоб одержати число в двійковій системі числення, досить записати останнє приватне, тобто. 1, і приписати до нього у зворотному порядку всі отримані у процесі поділу залишки.

Результат, природно, не змінився: 567 у двійковій системі числення записується як 1000110111.

Ці два способи застосовні при переведенні числа з десяткової системи до системи з будь-яким підставою. Наприклад, при переведенні числа 567 в систему числення з основою 16 число спочатку розкладається за ступенями основи. Потрібне число складається з трьох цифр, т.к. 16 2 = 256 хх, де замість хможуть стояти будь-які шістнадцяткові цифри. Залишається розподілити за такими розрядами число 55 (567 - 512). 3 · 16 = 48

Другий спосіб полягає в послідовному розподілі в стовпчик, з відмінністю в тому, що ділити треба не на 2, а на 16, і процес розподілу закінчується, коли приватне стає строго менше 16.

Звичайно, для запису числа в шістнадцятковій системі числення необхідно замінити 10 на A, 11 на B і так далі.

Операція переведення в десяткову систему виглядає набагато простіше, тому що будь-яке десяткове число можна подати у вигляді x = a 0· p n + a 1· p n–1 +... + a n-1 · p 1 + a n· p 0, де a 0 ... a n- Це цифри даного числа в системі числення з основою p.

Наприклад, можна перевести число 4A3F в десяткову систему. За визначенням, 4A3F= 4·16 3 + A·16 2 + 3·16 + F. При заміні A на 10, а F на 15, виходить 4·16 3 + 10·16 2 + 3·16 + 15= 19007 .

Найпростіше переводити числа з двійкової системи в системи з основою, що дорівнює ступеням двійки (8 і 16), і навпаки. Для того, щоб ціле двійкове число записати в системі числення з підставою 2 n, потрібно дане двійкове число розбити праворуч наліво на групи по n-Цифр у кожній; якщо в останній лівій групі виявиться менше n розрядів, доповнити її нулями до потрібного числа розрядів; розглянути кожну групу, як n-розрядне двійкове число, та замінити її відповідною цифрою в системі числення з основою 2 n .

Таблиця 1. Двійково-шістнадцяткова таблиця

Таблиця 1. ДВІЙКОВО-ШІСТНАДЦАТЕРІЧНА ТАБЛИЦЯ
2-а	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111
16-та	0	1	2	3	4	5	6	7
2-а	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
16-та	8	9	A	B	C	D	E	F

Відомий французький астроном, математик і фізик П'єр Симон Лаплас (1749-1827) писав про історичний розвиток систем числення, що «Думка висловлювати всі числа дев'ятьма знаками, надаючи їм, крім значення за формою, ще значення за місцем, настільки проста, що саме з -за цієї простоти важко зрозуміти, наскільки вона дивовижна. Як нелегко було дійти цього методу, бачимо з прикладу найбільших геніїв грецької вченості Архімеда і Аполлонія, яких ця думка залишилася прихованою.»

Порівняння десяткової системи обчислення з іншими позиційними системами дозволило математикам та інженерам-конструкторам розкрити дивовижні можливості сучасних недесяткових систем обчислення, що забезпечили розвиток комп'ютерної техніки.

Ганна Чугайнова

Подання чисел за допомогою письмових знаків.

Система зчислення:

дає уявлення безлічі чисел (цілих та/або речових);
дає кожному числу унікальну виставу (або, принаймні, стандартну виставу);
відображає алгебраїчну та арифметичну структуру чисел.

Системи числення поділяються на позиційні, непозиційніі змішані.

Позиційні системи числення

У позиційних системах числення один і той же числовий знак (цифра) у записі числа має різні значення в залежності від місця (розряду), де він розташований. Винахід позиційної нумерації, заснованої на помісному значенні цифр, приписується шумерам та вавилонянам; розвинена була така нумерація індусами та мала неоціненні наслідки в історії людської цивілізації. До таких систем належить сучасна десяткова система числення, виникнення якої пов'язане з рахунком на пальцях. У середньовічній Європі вона виникла через італійських купців, своєю чергою запозичували в мусульман.

Під позиційною системою числення зазвичай розуміється -річкова система числення, яка визначається цілим числом основоюсистеми числення. Ціле число без знака в річковій системі числення представляється у вигляді кінцевої лінійної комбінації ступенів числа:

де - це цілі числа, звані цифрами, що задовольняють нерівності .

Кожен ступінь у такому записі називається ваговим коефіцієнтом розряду. Старшинство розрядів і відповідних цифр визначається значенням показника (номером розряду). Зазвичай, у ненульових числах ліві нулі опускаються.

Якщо не виникає різночитань (наприклад, коли всі цифри подаються у вигляді унікальних письмових знаків), число записують у вигляді послідовності його -річних цифр, що перераховуються за спаданням старшинства розрядів зліва направо:

Наприклад, число сто триподається в десятковій системі числення у вигляді:

Найбільш уживаними нині позиційними системами є:

У позиційних системах чим більше основа системи, тим менша кількість розрядів (тобто цифр, що записуються) потрібна при записі числа.

Змішані системи числення

Змішана система численняє узагальненням -річкової системи числення і часто відноситься до позиційних систем числення. Підставою змішаної системи числення є зростаюча послідовність чисел, і кожне число в ній представляється як лінійна комбінація:

, де на коефіцієнти , звані як і раніше цифрами, накладаються деякі обмеження.

Записом числа у змішаній системі числення називається перерахування його цифр у порядку зменшення індексу, починаючи з першого ненульового.

Залежно від виду як функції від змішані системи числення можуть бути статечними, показовими тощо. Коли для деякого, змішана система числення збігається з показовою-річковою системою числення.

Найбільш відомим прикладомзмішаної системи числення є уявлення часу у вигляді кількості діб, годин, хвилин та секунд. У цьому величина « днів, годин, хвилин, секунд» відповідає значенню секунд.

Факторіальна система числення

В факторіальній системі численняосновами є послідовність факторіалів, і кожне натуральне число подається у вигляді:

де .

Факторіальна система числення використовується при декодування перестановок списками інверсій: Маючи номер перестановки, можна відтворити її так: число, на одиницю менше номера (нумерація починається з нуля) записується в факторіальной системі числення, причому коефіцієнт при числі i! буде позначати число інверсій для елемента i+1 у тому множині, в якому проводяться перестановки (число елементів менших i+1, але стоять правіше за нього в шуканій перестановці)

Приклад: розглянемо безліч перестановок із 5 елементів, всього їх 5! = 120 (від перестановки з номером 0 - (1,2,3,4,5) до перестановки з номером 119 - (5,4,3,2,1)), знайдемо 101 перестановку: 100 = 4!* 4 + 3! * 0 + 2! * 2 + 1! * 0 = 96 + 4; покладемо ti - коефіцієнт при числі i!, Тоді t4 = 4, t3 = 0, t2 = 2, t1 = 0, тоді: число елементів менших 5, але стоять правіше одно 4; число елементів менших 4, але стоять правіше 0; число елементів менших 3, але тих, що стоять правіше, дорівнює 2; число елементів менших 2, але стоять правіше одно 0 (останній елемент у перестановці «ставиться» на єдине місце) - таким чином, 101-а перестановка матиме вигляд: (5,3,1,2,4) Перевірка даного методу може бути здійснена шляхом безпосереднього підрахунку інверсій кожного елемента перестановки.

Фібоначчієва система численняґрунтується на числах Фібоначчі. Кожне натуральне число в ній представляється у вигляді:

, Де - числа Фібоначчі, , При цьому в коефіцієнтах є кінцева кількість одиниць і не зустрічаються дві одиниці поспіль.

Непозиційні системи числення

У непозиційних системах числення величина, яку позначає цифра, залежить від становища в числе. При цьому система може накладати обмеження на положення цифр, наприклад щоб вони були розташовані в порядку зменшення.

Біноміальна система числення

Подання, що використовує біномні коефіцієнти

де .

Система залишкових класів (СІК)

Уявлення числа в системі залишкових класів засноване на понятті відрахування та китайської теореми про залишки. СІК визначається набором взаємно простих модулівз твором так, що кожному цілому з відрізка ставиться у відповідність набір відрахувань , де

…

При цьому китайська теорема про залишки гарантує однозначність уявлення для чисел із відрізка.

У СОК арифметичні операції (додавання, віднімання, множення, розподіл) виконуються покомпонентно, якщо про результат відомо, що він є цілим і також лежить в .

Недоліками СІК є можливість представлення лише обмеженої кількості чисел, а також відсутність ефективних алгоритмів для порівняння чисел, поданих у СІК. Порівняння зазвичай здійснюється через переклад аргументів із СОК у змішану систему числення на підставах.

Система числення Штерна-Броко- спосіб запису позитивних раціональних чисел, заснований на дереві Штерна-Броко.

Системи числення різних народів

Одинична система числення

Очевидно, хронологічно перша система числення кожного народу, що опанував рахунок. Натуральне число зображується шляхом повторення одного й того самого знака (риски або крапки). Наприклад, щоб зобразити число 26, потрібно провести 26 рисок (або зробити 26 засічок на кістки, камені тощо). Згодом, задля зручності сприйняття великих чисел, ці знаки групуються по три чи п'ять. Потім рівнооб'ємні групи знаків починають замінюватись якимось новим знаком - так виникають прообрази майбутніх цифр.

Давньоєгипетська система числення

Вавилонська система числення

Алфавітні системи числення

Алфавітними системами числення користувалися давні вірмени, грузини, греки (іонічна система числення), араби (абджадія), євреї (див. гематрія) та інші народи Близького Сходу. У слов'янських богослужбових книгах грецька алфавітна система була перекладена буквами кирилиці.

Єврейська система числення

Грецька система числення

Римська система числення

Канонічним прикладом майже непозиційної системи числення є римська, в якій як цифри використовуються латинські літери:
I позначає 1,
V - 5,
X - 10
L - 50,
C - 100,
D – 500,
M - 1000

Наприклад, II = 1 + 1 = 2
тут символ I означає 1 незалежно від місця в числі.

Насправді, римська система не є повністю непозиційною, тому що менша цифра, що йде перед більшою, віднімається від неї, наприклад:

IV = 4, тоді як:
VI = 6

Система числення майя

Див. також

Примітки

Посилання

Гашков С. Б.Системи числення та їх застосування. – М.: МЦНМО, 2004. – (Бібліотека «Математичне просвітництво»).
Фомін С. В.Системи числення. – М.: Наука, 1987. – 48 с. - (популярні лекції з математики).
Яглом І.Системи числення // Квант. – 1970. – № 6. – С. 2-10.
Цифри та системи числення. Онлайн Енциклопедія Навколишній світ.
Стахов А.Роль систем числення історія комп'ютерів .
Мікушин А. В. Системи числення. Курс лекцій "Цифрові пристрої та мікропроцесори"
Butler J. T., Sasao T. Redundant Multiple-Valued Number Systems У статті розглянуто системи числення, що використовують цифри більше одиниці та що допускають надмірність у поданні чисел

Wikimedia Foundation. 2010 .

Калькулятор дозволяє переводити цілі та дробові числа з однієї системи числення до іншої. Підстава системи числення може бути менше 2 і більше 36 (10 цифр і 26 латинських букв все-таки). Довжина чисел має перевищувати 30 символів. Використовуйте символ для введення дробових чисел. або, . Щоб перевести число з однієї системи в іншу, введіть вихідне число в перше поле, основу вихідної системи числення в друге та основу системи числення, в яку потрібно перевести число, у третє поле, після чого натисніть кнопку "Отримати запис".

Початкове число записано в 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 5 -ой системі числення.

Хочу отримати запис числа в 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ой системі числення.

Отримати запис

Виконано перекладів: 1804825

Також може бути цікаво:

Калькулятор таблиці істинності. СДНФ. СКНФ. Поліном Жегалкіна

Системи числення

Системи числення поділяються на два типи: позиційніі не позиційні. Ми користуємося арабською системою, вона є позиційною, а є ще римська – вона якраз не позиційна. У позиційних системах становище цифри у числі однозначно визначає значення цього числа. Це легко зрозуміти, розглянувши на прикладі якогось числа.

Приклад 1. Візьмемо число 5921 у десятковій системі числення. Пронумеруємо число праворуч наліво, починаючи з нуля:

Число 5921 можна записати в наступному вигляді: 5921 = 5000 +900 +20 +1 = 5 · 10 3 +9 · 10 2 +2 · 10 1 +1 · 10 0 . Число 10 є характеристикою, що визначає систему числення. В якості ступенів взято значення позиції даного числа.

Приклад 2. Розглянемо речове десяткове число 1234.567. Пронумеруємо його починаючи з нульової позиції числа від десяткової точки вліво та вправо:

Число 1234.567 можна записати в наступному вигляді: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6 · 10 -2 +7 · 10 -3.

Переведення чисел з однієї системи числення до іншої

Найбільш простим способом переведення числа з однієї системи числення в іншу є переклад числа спочатку в десяткову систему числення, а потім, отриманого результату в необхідну систему числення.

Переведення чисел з будь-якої системи числення до десяткової системи числення

Для переведення числа з будь-якої системи числення в десяткову достатньо пронумерувати його розряди, починаючи з нульового (розряд ліворуч від десяткової точки) аналогічно прикладам 1 або 2. Знайдемо суму творів цифр числа на підставу системи числення в мірі позиції цієї цифри:

1. Перевести число 1001101.1101 2 в десяткову систему числення.
Рішення: 10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 - 4 = 16 +2 +1 +0.5 +0.25 +0.0625 = 19.8125 10
Відповідь: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. Перевести число E8F.2D 16 в десяткову систему числення.
Рішення: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0.125+0.05078125 = 3727.17578125 10
Відповідь: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10

Переведення чисел з десяткової системи числення в іншу систему числення

Для перекладу чисел із десяткової системи числення в іншу систему числення цілу та дробову частини числа потрібно перекладати окремо.

Переклад цілої частини числа з десяткової системи числення до іншої системи числення

Ціла частина переводиться з десяткової системи числення в іншу систему числення за допомогою послідовного поділу цілої частини числа на основу системи числення до отримання цілого залишку, меншої основи системи числення. Результатом перекладу буде запис із залишків, починаючи з останнього.

3. Перевести число 273 10 в восьмирічну систему числення.
Рішення: 273/8 = 34 і залишок 1, 34/8 = 4 і залишок 2, 4 менший за 8, тому обчислення завершено. Запис із залишків матиме такий вигляд: 421
Перевірка: 4 · 8 2 +2 · 8 1 +1 · 8 0 = 256 +16 +1 = 273 = 273, результат співпав. Отже переклад виконано правильно.
Відповідь: 273 10 = 421 8

Розглянемо переведення правильних десяткових дробів у різні системи числення.

Переведення дробової частини числа з десяткової системи числення до іншої системи числення

Нагадаємо, правильним десятковим дробом називається речове число з нульовою цілою частиною. Щоб перевести таке число в систему числення з підставою N, потрібно послідовно множити число на N доти, поки дробова частина не обнулиться або не буде отримана необхідна кількість розрядів. Якщо при множенні виходить число з цілою частиною, відмінне від нуля, то ціла частина далі не враховується, тому що послідовно заноситься до результату.

4. Перевести число 0.125 10 в двійкову систему числення.
Рішення: 0.125·2 = 0.25 (0 - ціла частина, яка стане першою цифрою результату), 0.25·2 = 0.5 (0 - друга цифра результату), 0.5·2 = 1.0 (1 - третя цифра результату, оскільки дробова частина дорівнює нулю , то переклад завершено).
Відповідь: 0.125 10 = 0.001 2

У непозиційних системах числення від становища цифри запису числа залежить величина, що вона позначає. Прикладом непозиційної системи числення є римська система, в якій як цифри використовуються латинські літери:

Наприклад, VI = 5 + 1 = 6, а ІХ = 10-1 = 9.

У позиційних системах числення величина, що позначається цифрою запису числа, залежить від її позиції. Кількість використовуваних цифр називається основою системи числення. Місце кожної цифри у числі називається позицією. Перша відома нам система, заснована на позиційному принципі – шістдесяткова вавілонська. Цифри у ній були двох видів, однією з позначалися одиниці, іншим - десятки. Сліди Вавилонської системи збереглися до наших днів у способах вимірювання та запису величин кутів та проміжків часу.

Проте найбільшу цінність для нас має індоарабська десяткова система. Індійці першими використовували нуль для вказівки значущості позиційної величини в рядку цифр. Ця система дістала назву десяткової, тому що в ній десять цифр.

Щоб краще зрозуміти відмінність позиційної і непозиційної систем числення, розглянемо приклад порівняння двох чисел. У позиційній системі числення порівняння двох чисел відбувається так: у розглянутих числах зліва направо порівнюються цифри, що стоять у однакових позиціях. Велика цифра відповідає більшому значенню числа. Наприклад, для чисел 123 і 234, 1 менше 2, тому число 234 більше ніж число 123. У непозиційній системі числення це правило не діє. Прикладом цього може бути порівняння двох чисел IX і VI. Незважаючи на те, що I менше ніж V, число IX більше, ніж число VI.

Основа системи числення, у якій записано число, зазвичай позначається нижнім індексом. Наприклад, 5557 – число, записане в семеричній системі числення. Якщо число записано у десятковій системі, то підстава, зазвичай, не вказується. Підстава системи - це теж число, і його ми будемо вказувати у звичайній десятковій системі. Взагалі число х може бути представлене в системі з підставою р, як х = а п х р п + а п _! х р п_1+а! х р 1 + а 0 х р °, де а п ... а 0 - Цифри в поданні даного числа. Так наприклад,

1035 10 = 1 х Ю 3 +0 х Ю 2 +3 х Ю 1 + 5 х 10 °;
1010 2 = 1 X 2 3 + 0 X 2 2 + 1 X 2 1 + О X 2° = 10.

Найбільший інтерес при роботі на ЕОМ представляють системи числення з підставами 2, 8 і 16. Власне кажучи, цих систем числення зазвичай вистачає повноцінної роботи як людини, і обчислювальної машини. Однак іноді через різні обставини все-таки доводиться звертатися до інших систем числення, наприклад до троїчної, семеричної або системи числення на підставі 32.

Для того, щоб нормально оперувати з числами, записаними в таких нетрадиційних системах, важливо розуміти, що вони нічим не відрізняються від звичної нам десяткової. Додавання, віднімання, множення в них здійснюється за однією і тією ж схемою.

Чому ж ми не користуємось іншими системами числення? В основному тому, що у повсякденному житті ми звикли користуватися десятковою системою числення, і нам не потрібна інша. У обчислювальних машинах використовується двійкова система числення, так як оперувати над числами, записаними в двійковому вигляді, досить просто.

Двійкова система числення. Люди віддають перевагу десятковій системі, мабуть, тому, що з давніх часів рахували на пальцях. Але не завжди і не скрізь люди користувалися десятковою системою числення. У Китаї, наприклад, тривалий час застосовувалась п'ятирічна система числення. В ЕОМ використовують двійкову систему тому, що вона має ряд переваг над іншими:

? для її реалізації використовуються технічні елементи з двома можливими станами (є струм - немає струму, намагнічний - ненамагнічний);
? подання інформації у вигляді лише двох станів надійно та перешкодостійке;
? можливе застосування апарату булевої алгебри для виконання логічних перетворень інформації;
? двійкова арифметика простіше десяткової (двійкові таблиці складання та множення гранично прості).

У двійковій системі числення лише дві цифри, звані двійковими (binary digits). Скорочення цього найменування призвело до появи терміна «біт», який став назвою розряду двійкового числа. Ваги розрядів у двійковій системі змінюються за ступенями двійки.

Оскільки вага кожного розряду множиться або на 0 або на 1, то в результаті значення числа визначається як сума відповідних значень ступенів двійки. Якщо будь-який розряд двійкового числа дорівнює 1, він називається значним розрядом. Запис числа у двійковому вигляді набагато довший за запис у десятковій системі числення.

Арифметичні дії, виконувані у двійковій системі, підпорядковуються тим самим правилам, що у десятковій системі. Лише у двійковій системі перенесення одиниць у старший розряд виникає частіше, ніж у десятковій. Ось як виглядає таблиця додавання в двійковій системі:

Таблиця 1.3

Варіанти додавання

Розглянемо докладніше, як відбувається процес множення двійкових чисел. Нехай треба помножити число 1101 на 101 (обидва числа у двійковій системі числення). Машина робить це так: вона бере число 1101, і якщо перший елемент другого множника дорівнює 1, вона заносить його в суму. Потім зсуває число 1101 вліво на одну позицію, отримуючи тим самим 11010, і якщо другий елемент другого множника дорівнює одиниці, теж заносить його в суму. Якщо елемент другого множника дорівнює нулю, сума не змінюється.

Двійковий поділ заснований на методі, знайомому вам з десяткового поділу, тобто зводиться до виконання операцій множення та віднімання. Виконання основної процедури - вибір числа, кратного дільнику і призначеного для зменшення ділимого, тут простіше, тому що таким числом може бути тільки 0 або сам дільник.

Слід зазначити, що більшість калькуляторів, реалізованих на ЕОМ (у тому числі КСа1с), дозволяють здійснювати роботу в системах числення з підставами 2,8, 16 і, звичайно, 10.