У статистиці використовують різні види середніх величин, які поділяються на два великі класи:

Ступінні середні (середня гармонічна, середня геометрична, середня арифметична, середня квадратична, середня кубічна);

Структурні середні (мода, медіана).

Для обчислення статечних середніхнеобхідно використовувати всі наявні значення ознаки. Модаі медіанавизначаються лише структурою розподілу, тому називають структурними, позиційними середніми. Медіану і моду часто використовують як середню характеристику в тих сукупностях, де розрахунок середньої статечної неможливий або недоцільний.

Найпоширеніший вид середньої величини – середня арифметична. Під середньої арифметичноїрозуміється таке значення ознаки, яке мала кожна одиниця сукупності, якби загальний підсумок всіх значень ознаки був розподілений рівномірно між усіма одиницями сукупності. Обчислення даної величини зводиться до підсумовування всіх значень варіюючої ознаки та поділу отриманої суми на загальну кількість одиниць сукупності. Наприклад, п'ять робочих виконували замовлення виготовлення деталей, у своїй перший виготовив 5 деталей, другий – 7, третій – 4, четвертий – 10, п'ятий– 12. Оскільки у вихідних даних значення кожного варіанта зустрічалося лише один раз, для опреде-

лення середнього вироблення одного робітника слід застосувати формулу простої середньої арифметичної:

тобто в нашому прикладі середнє вироблення одного робітника дорівнює

Поряд із простою середньою арифметичною вивчають середню арифметичну виважену.Наприклад, розрахуємо середній вік студентів у групі з 20 осіб, вік яких варіюється від 18 до 22 років, де xi- варіанти ознаки, що осредняється, fi- Частота, яка показує, скільки разів зустрічається І-езначення у сукупності (табл. 5.1).

Таблиця 5.1

Середній вік студентів

Застосовуючи формулу середньої арифметичної зваженої, отримуємо:

Для вибору середньої арифметичної зваженої існує певне правило: якщо є ряд даних за двома показниками, для одного з яких треба вирахувати

середню величину, і при цьому відомі чисельні значення знаменника її логічної формули, а значення чисельника невідомі, але можуть бути знайдені як добуток цих показників, то середня величина повинна вираховуватися за формулою середньої арифметичної зваженої.

У деяких випадках характер вихідних статистичних даних такий, що розрахунок середньої арифметичної втрачає сенс і єдиним узагальнюючим показником може бути лише інший вид середньої величини – середня гармонійна.В даний час обчислювальні властивості середньої арифметичної втратили свою актуальність при розрахунку узагальнюючих статистичних показників у зв'язку з повсюдним використанням електронно-обчислювальної техніки. Велике практичне значення набула середня гармонійна величина, яка теж буває простою та виваженою. Якщо відомі чисельні значення чисельника логічної формули, а значення знаменника невідомі, але можуть бути знайдені як приватне розподілення одного показника на інший, то середня величина обчислюється за формулою середньої зваженої гармонічної.

Наприклад, нехай відомо, що автомобіль пройшов перші 210 км зі швидкістю 70 км/год, а 150 км зі швидкістю 75 км/год, що залишилися. Визначити середню швидкість автомобіля протягом усього шляху 360 км, використовуючи формулу середньої арифметичної, не можна. Оскільки варіантами є швидкості на окремих ділянках xj= 70 км/год Х2= 75 км/год, а вагами (fi) вважаються відповідні відрізки шляху, то твори варіантів ваги нічого очікувати мати ні фізичного, ні економічного сенсу. В даному випадку сенс набувають приватні від розподілу відрізків колії на відповідні швидкості (варіанти xi), тобто витрати часу на проходження окремих ділянок колії (fi / xi). Якщо відрізки шляху позначити через fi, весь шлях висловитися як?fi, а час, витрачений весь шлях, – як? fi / xi , Тоді середня швидкість може бути знайдена як приватна від поділу всього шляху на загальні витрати часу:

У нашому прикладі отримаємо:

Якщо при використанні середньої гармонійної ваги всіх варіантів (f) рівні, замість виваженої можна використовувати просту (невиважену) середню гармонійну:

де xi – окремі варіанти; n- Число варіантів осредняемого ознаки. У прикладі зі швидкістю просту середню гармонійну можна було б застосувати, якби дорівнювали відрізки шляху, пройдені з різною швидкістю.

Будь-яка середня величина повинна обчислюватися так, щоб при заміні нею кожного варіанту ознаки, що осредняется, не змінювалася величина деякого підсумкового, узагальнюючого показника, який пов'язаний з показником, що осредняется. Так, при заміні фактичних швидкостей на окремих відрізках шляху їх середньою величиною (середньою швидкістю) не має змінитись загальна відстань.

Форма (формула) середньої величини визначається характером (механізмом) взаємозв'язку цього підсумкового показника з осредняемым, тому підсумковий показник, величина якого повинна змінюватися при заміні варіантів їх середньої величиною, називається визначальним показником.Для виведення середньої формули потрібно скласти і вирішити рівняння, використовуючи взаємозв'язок осредняемого показника з визначальним. Це рівняння будується шляхом заміни варіантів ознаки (показника) їх середньою величиною.

Окрім середньої арифметичної та середньої гармонійної у статистиці використовуються й інші види (форми) середньої величини. Усі вони є окремими випадками степеневої середньої.Якщо розраховувати всі види статечних середніх величин для тих самих даних, то значення

їх виявляться однаковими, тут діє правило мажо-рантностісередніх. Зі збільшенням показника ступеня середніх збільшується і сама середня величина. Найчастіше застосовувані у практичних дослідженнях формули обчислення різних видівстепеневих середніх величин представлені в табл. 5.2.

Таблиця 5.2

Види статечних середніх

Середня геометрична застосовується, коли є nкоефіцієнтів зростання, у своїй індивідуальні значення ознаки є, зазвичай, відносні величини динаміки, побудовані як ланцюгових величин, як ставлення до попередньому рівню кожного рівня серед динаміки. Середня характеризує, в такий спосіб, середній коефіцієнт зростання. Середня геометрична простарозраховується за формулою

Формула середньої геометричної зваженоїмає такий вигляд:

Наведені формули ідентичні, але одна застосовується при поточних коефіцієнтах чи темпах зростання, а друга – за абсолютних значень рівнів ряду.

Середня квадратичназастосовується при розрахунку з величинами квадратних функцій, використовується для вимірювання ступеня коливання індивідуальних значень ознаки навколо середньої арифметичної в рядах розподілу та обчислюється за формулою

Середня квадратична виваженарозраховується за іншою формулою:

Середня кубічназастосовується при розрахунку з величинами кубічних функцій та обчислюється за формулою

середня кубічна зважена:

Усі розглянуті вище середні величини можуть бути представлені у вигляді загальної формули:

де – середня величина; - Індивідуальне значення; n- Число одиниць досліджуваної сукупності; k- Показник ступеня, що визначає вид середньої.

При використанні одних і тих самих вихідних даних, чим більше kу загальній формулі статечної середньої, тим більше середня величина. З цього випливає, що між величинами статечних середніх існує закономірне співвідношення:

Середні величини, описані вище, дають узагальнене уявлення про досліджувану сукупність і з цього погляду їх теоретичне, прикладне та пізнавальне значення безперечно. Але буває, що величина середньої не збігається з жодним із реально існуючих варіантів, тому крім розглянутих середніх у статистичному аналізі доцільно використовувати величини конкретних варіантів, що займають упорядкованому (ранжованому) ряду значень ознаки цілком певне становище. Серед таких величин найуживанішими є структурні,або описові, середні– мода (Мо) та медіана (Ме).

Мода- Величина ознаки, яка найчастіше зустрічається в даній сукупності. Стосовно варіаційного ряду модою є значення ранжованого ряду, що найчастіше зустрічається, тобто варіант, що володіє найбільшою частотою. Мода може застосовуватися при визначенні магазинів, які найчастіше відвідуються, найбільш поширеної ціни на будь-який товар. Вона показує розмір ознаки, властивий значної частини сукупності, і визначається за формулою

де х0 – нижня межа інтервалу; h- Величина інтервалу; fm- Частота інтервалу; fm_ 1 – частота попереднього інтервалу; fm+ 1 – частота наступного інтервалу.

Медіаноюназивається варіант, розташований у центрі ранжованого ряду. Медіана ділить ряд на дві рівні частини таким чином, що по обидва боки від неї є однакова кількість одиниць сукупності. При цьому в однієї половини одиниць сукупності значення ознаки, що варіює, менше медіани, в іншої - більше її. Медіана використовується при вивченні елемента, значення якого більше або одно або одночасно менше або дорівнює половині елементів ряду розподілу. Медіана дає загальне уявлення у тому, де зосереджені значення ознаки, інакше кажучи, де є їх центр.

Описовий характер медіани в тому, що вона характеризує кількісну межу значень варіюючого ознаки, якими має половина одиниць сукупності. Завдання знаходження медіани для дискретного варіаційного ряду вирішується просто. Якщо всім одиницям ряду надати порядкові номери, то порядковий номер медіанного варіанту визначається як (п +1) / 2 з непарним числом членів п. Якщо ж кількість членів ряду є парним числом, то медіаною буде середнє значення двох варіантів, що мають порядкові номери n/ 2 та n/ 2 + 1.

При визначенні медіани в інтервальних варіаційних лавах спочатку визначається інтервал, у якому вона перебуває (медіанний інтервал). Цей інтервал характерний тим, що його накопичена сума частот дорівнює або перевищує півсуму всіх частот. Розрахунок медіани інтервального варіаційного ряду провадиться за формулою

де X0- нижня межа інтервалу; h- Величина інтервалу; fm- Частота інтервалу; f- Число членів ряду;

M -1 - Сума накопичених членів низки, що передують цьому.

Поруч із медіаною більш повної характеристики структури досліджуваної сукупності застосовують та інші значення варіантів, які у ранжированном ряду цілком певне становище. До них відносяться квартилиі децилі.Квартилі ділять ряд за сумою частот на 4 рівні частини, а децилі - на 10 рівних частин. Квартилів налічується три, а децилі – дев'ять.

Медіана і мода на відміну від середньої арифметичної не погашають індивідуальних відмінностей у значеннях ознаки, що варіює, і тому є додатковими і дуже важливими характеристиками статистичної сукупності. Насправді вони найчастіше застосовуються замість середньої чи поруч із нею. Особливо доцільно обчислювати медіану і моду в тих випадках, коли досліджувана сукупність містить кілька одиниць з дуже великим або дуже малим значенням ознаки, що варіює. Ці не дуже характерні для сукупності значення варіантів, впливаючи на величину середньої арифметичної, не впливають на значення медіани і моди, що робить останні дуже цінними для економіко-статистичного аналізу показниками.

5.1. Поняття середньої величини

Середня величина –це узагальнюючий показник, що характеризує типовий рівень явища. Він виражає величину ознаки, віднесену до одиниці сукупності.

Середня завжди узагальнює кількісну варіацію ознаки, тобто. у середніх величинах погашаються індивідуальні відмінності одиниць сукупності, що зумовлені випадковими обставинами. На відміну від середньої абсолютна величина, що характеризує рівень ознаки окремої одиниці сукупності, не дозволяє порівнювати значення ознаки одиниць, що відносяться до різних сукупностей. Так, якщо потрібно порівняти рівні оплати праці працівників на двох підприємствах, то не можна порівнювати за цією ознакою двох працівників різних підприємств. Оплата праці обраних для порівняння працівників може бути не типовою для цих підприємств. Якщо ж порівнювати розміри фондів оплати праці на підприємствах, що розглядаються, то не враховується чисельність працюючих і, отже, не можна визначити, де рівень оплати праці вищий. Зрештою порівняти можна лише середні показники, тобто. скільки загалом отримує один працівник кожному підприємстві. Отже, виникає необхідність розрахунку середньої величини як узагальнюючої характеристики сукупності.

Обчислення середнього – одне із поширених прийомів узагальнення; середній показник заперечує те загальне, що характерно (типово) всім одиниць досліджуваної сукупності, водночас він ігнорує відмінності окремих одиниць. У кожному явищі та його розвитку має місце поєднання випадковості та необхідності. При обчисленні середніх через дію закону великих чисел випадковості взаємопогашуються, врівноважуються, тому можна абстрагуватися від несуттєвих особливостей явища, від кількісних значень ознаки у кожному даному випадку. У можливості абстрагуватися від випадковості окремих значень, коливань і полягає наукова цінність середніх як узагальнюючих показників сукупностей.

Для того, щоб середній показник був дійсно типовим, він повинен розраховуватися з урахуванням певних принципів.

Зупинимося на деяких загальних принципахзастосування середніх величин.
1. Середня має визначатися для сукупностей, які з якісно однорідних одиниць.
2. Середня має обчислюватися для сукупності, що складається з досить великої кількості одиниць.
3. Середня має розраховуватися для сукупності, одиниці якої перебувають у нормальному, природному стані.
4. Середня має обчислюватися з урахуванням економічного змісту досліджуваного показника.

5.2. Види середніх та способи їх обчислення

Розглянемо тепер види середніх величин, особливості їх обчислення та галузі застосування. Середні величини поділяються на два великі класи: статечні середні, структурні середні.

До статечним середнімвідносяться такі найбільш відомі та часто застосовувані види, як середня геометрична, середня арифметична та середня квадратична.

В якості структурних середніхрозглядаються мода та медіана.

Зупинимося на статечних середніх. Ступінні середні в залежності від представлення вихідних даних можуть бути простими та зваженими. Проста середнявважається за не згрупованими даними і має такий загальний вигляд:

де X i - варіанти (значення) ознаки, що осредняється;

n – число варіантів.

Зважена середнявважається за згрупованими даними та має загальний вигляд

,

де X i - варіанти (значення) ознаки, що осредняється, або серединне значення інтервалу, в якому вимірюється варіанти;
m – показник ступеня середнього;
f i - Частота, що показує, скільки разів зустрічається i-e значенняосредняемого ознаки.

Наведемо як приклад розрахунок середнього віку студентів у групі з 20 осіб:

Середній вік розрахуємо за формулою простої середньої:

Згрупуємо вихідні дані. Отримаємо наступний ряд розподілу:

В результаті угруповання отримуємо новий показник – частоту, яка вказує на кількість студентів у віці Х років. Отже, середній вік студентів групи розраховуватиметься за формулою виваженої середньої:

Загальні формули розрахунку статечних середніх мають показник ступеня (m). Залежно від того, яке значення він набуває, розрізняють такі види статечних середніх:
середня гармонійна, якщо m = -1;
середня геометрична, якщо m -> 0;
середня арифметична, якщо m = 1;
середня квадратична, якщо m = 2;
середня кубічна, якщо m = 3.

Формули статечних середніх наведені у табл. 4.4.

Якщо розрахувати всі види середніх для тих самих вихідних даних, то значення їх виявляться неоднаковими. Тут діє правило мажорантності середніх: зі збільшенням показника ступеня m збільшується та відповідна середня величина:

У статистичній практиці частіше, ніж інші види середніх зважених, використовуються середні арифметичні та середні гармонійні зважені.

Таблиця 5.1

Види статечних середніх

Вигляд статечної середньої	Показник ступеня (m)	Формула розрахунку
		Проста	Зважена
Гармонійна	-1
Геометрична	0
Арифметична	1
Квадратична	2
Кубічна	3

Середня гармонійна має складнішу конструкцію, ніж середня арифметична. Середню гармонічну застосовують для розрахунків тоді, коли як ваги використовуються не одиниці сукупності – носії ознаки, а твори цих одиниць на значення ознаки (тобто m = Xf). До середньої гармонійної простий слід вдаватися у випадках визначення, наприклад, середніх витрат праці, часу, матеріалів на одиницю продукції, на одну деталь за двома (трьома, чотирма тощо) підприємствам, робітникам, зайнятим виготовленням одного і того ж виду продукції , однієї і тієї ж деталі вироби.

Головна вимога до формули розрахунку середнього значення у тому, щоб всі етапи розрахунку мали реальне змістовне обгрунтування; отримане середнє значення має замінити індивідуальні значення ознаки кожного об'єкта без порушення зв'язку індивідуальних і зведених показників. Інакше висловлюючись, середня величина повинна обчислюватися те щоб заміні кожного індивідуального значення осредняемого показника його середньої величиною залишався без зміни деякий підсумковий зведений показник, пов'язаний у тому чи іншим чином з осредняемым . Цей підсумковий показник називається визначальним,оскільки його взаємозв'язку з індивідуальними значеннями визначає конкретну формулу розрахунку середньої величини. Покажемо це правило на прикладі середньої геометричної.

Формула середньої геометричної

використовується найчастіше при розрахунку середнього значення за індивідуальними відносними величинами динаміки.

Середня геометрична застосовується, якщо задана послідовність ланцюгових відносних величин динаміки, що вказують, наприклад, на зростання обсягу виробництва порівняно з рівнем попереднього року: i 1 , i 2 , i 3 ,..., i n . Очевидно, що обсяг виробництва в останньому році визначається початковим його рівнем (q 0) та наступним нарощуванням за роками:

q n =q 0 x i 1 x i 2 x ... x i n .

Прийнявши q n як визначальний показник і замінюючи індивідуальні значення показників динаміки середніми, приходимо до співвідношення

Звідси

5.3. Структурні середні

Особливий вид середніх величин – структурні середні – застосовується вивчення внутрішньої будовирядів розподілу значень ознаки, а також для оцінки середньої величини (ступеневого типу), якщо за наявними статистичними даними її розрахунок не може бути виконаний (наприклад, якби в розглянутому прикладі були відсутні дані і про обсяг виробництва, і про суму витрат за групами підприємств) .

Як структурні середні найчастіше використовують показники моди –найбільш часто повторюваного значення ознаки – і медіани –величини ознаки, яка поділяє впорядковану послідовність його значень на дві рівні за чисельністю частини. У результаті однієї половини одиниць сукупності значення ознаки вбирається у медіанного рівня, а в інший – щонайменше його.

Якщо ознака, що вивчається, має дискретні значення, то особливих складнощів при розрахунку моди і медіани не буває. Якщо ж дані про значення ознаки Х представлені у вигляді впорядкованих інтервалів його зміни (інтервальних рядів), розрахунок моди та медіани дещо ускладнюється. Оскільки медіанне значення ділить всю сукупність на дві рівні за чисельністю частини, воно виявляється в одному з інтервалів ознаки X. За допомогою інтерполяції в цьому медіанному інтервалі знаходять значення медіани:

,

де X Me – нижня межа медіанного інтервалу;
h Me – його величина;
(Sum m)/2 – половина від загальної кількості спостережень або половина обсягу того показника, який використовується як зважуючий у формулах розрахунку середньої величини (в абсолютному або відносному вираженні);
S Me-1 – сума спостережень (або обсягу зважуючої ознаки), накопичена на початок медіанного інтервалу;
m Me – число спостережень чи обсяг зважуючого ознаки в медіанному інтервалі (також у абсолютному чи відносному вираженні).

У нашому прикладі можуть бути отримані навіть три медіанні значення – виходячи з ознак кількості підприємств, обсягу продукції та загальної суми витрат на виробництво:

Отже, у половини підприємств рівень собівартість одиниці виробленої продукції перевищує 125,19 тис. крб., половина всього обсягу продукції виробляється з рівнем витрат за виріб більше 124,79 тис. крб. та 50% загальної суми витрат утворюється при рівні собівартості одного виробу вище 125,07 тис. руб. Зауважимо також, що спостерігається деяка тенденція до зростання собівартості, оскільки Ме 2 = 124,79 тис. руб., Середній рівень дорівнює 123,15 тис. руб.

При розрахунку модального значення ознаки за даними інтервального ряду треба звертати увагу на те, щоб інтервали були однаковими, оскільки від цього залежить показник повторюваності значень ознаки X. Для інтервального ряду з рівними інтервалами величина моди визначається як

де Х Mo - нижнє значення модального інтервалу;
m Mo - число спостережень або обсяг зважуючої ознаки в модальному інтервалі (в абсолютному або відносному вираженні);
m Mo -1 – те саме для інтервалу, що передує модальному;
m Mo+1 – те саме для інтервалу, наступного за модальним;
h – величина інтервалу зміни ознаки у групах.

Для нашого прикладу можна розрахувати три модальні значення виходячи з ознак кількості підприємств, обсягу продукції та суми витрат. У всіх трьох випадках модальний інтервал один і той же, так як для одного і того ж інтервалу виявляються найбільшими і кількість підприємств, і обсяг продукції, і загальна сума витрат на виробництво:

Таким чином, найчастіше зустрічаються підприємства з рівнем собівартості 126,75 тис. руб., Найчастіше випускається продукція з рівнем витрат 126,69 тис. руб., І найчастіше витрати на виробництво пояснюються рівнем собівартості в 123,73 тис. руб.

5.4. Показники варіації

Конкретні умови, у яких перебуває кожен із досліджуваних об'єктів, і навіть особливості їхнього розвитку (соціальні, економічні та інших.) виражаються відповідними числовими рівнями статистичних показників. Таким чином, варіація,тобто. розбіжність рівнів одного і того ж показника у різних об'єктів, має об'єктивний характер і допомагає пізнати сутність явища, що вивчається.

Для виміру варіації у статистиці застосовують кілька способів.

Найбільш простим є розрахунок показника розмаху варіаціїН як різниці між максимальним (X max) і мінімальним (X min) значеннями ознаки, що спостерігаються:

H = X max - X min.

Проте розмах варіації показує лише крайні значення ознаки. Повторюваність проміжних значень тут не враховується.

Строгішими характеристиками є показники коливання відносно середнього рівня ознаки. Найпростіший показник такого типу – середнє лінійне відхиленняяк середнє арифметичне значення абсолютних відхилень ознаки від його середнього рівня:

При повторюваності окремих значень Х використовують формулу середньої арифметичної зваженої:

(Нагадаємо, що алгебраїчна сума відхилень від середнього рівня дорівнює нулю.)

Показник середнього лінійного відхилення знайшов широке застосування практично. З його допомогою аналізуються, наприклад, склад працюючих, ритмічність виробництва, рівномірність постачання матеріалів, розробляються системи матеріального стимулювання. Але, на жаль, цей показник ускладнює розрахунки імовірнісного типу, ускладнює застосування методів математичної статистики. Тому в статистичних наукових дослідженнях для вимірювання варіації найчастіше застосовують показник дисперсії.

Дисперсія ознаки (s 2) визначається на основі квадратичної статечної середньої:

.

Показник s, рівний , називається середнім квадратичним відхиленням.

У загальній теорії статистики показник дисперсії є оцінкою однойменного показника теорії ймовірностей та (як сума квадратів відхилень) оцінкою дисперсії у математичній статистиці, що дозволяє використовувати положення цих теоретичних дисциплін для аналізу соціально-економічних процесів.

Якщо варіація оцінюється за невеликою кількістю спостережень, взятих з необмеженої генеральної сукупності, то середнє значення ознаки визначається з деякою похибкою. Розрахункова величина дисперсії виявляється зміщеною у бік зменшення. Для отримання незміщеної оцінки вибіркову дисперсію, отриману за наведеними раніше формулами, треба помножити на величину n/(n – 1). У результаті при малій кількості спостережень (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле

Зазвичай вже за n > (15÷20) розбіжність зміщеної та незміщеної оцінок стає несуттєвою. З цієї причини зазвичай не враховують зміщеність і формулі складання дисперсій.

Якщо з генеральної сукупності зробити кілька вибірок і щоразу у своїй визначати середнє значення ознаки, виникає завдання оцінки коливання середніх. Оцінити дисперсію середнього значенняможна і на основі всього одного вибіркового спостереження за формулою

,

де n - Обсяг вибірки; s 2 - Дисперсія ознаки, розрахована за даними вибірки.

Величина носить назву середньої помилки вибіркиі є характеристикою відхилення вибіркового середнього значення ознаки Х його справжньої середньої величини. Показник середньої помилки використовується в оцінці достовірності результатів вибіркового спостереження.

Показники відносного розсіювання.Для характеристики міри коливання досліджуваного ознаки обчислюються показники коливання у відносних величинах. Вони дозволяють порівнювати характер розсіювання в різних розподілах (різні одиниці спостереження однієї й тієї ж ознаки у двох сукупностях, при різних значенняхсередніх, при порівнянні різноїменних сукупностей). Розрахунок показників міри відносного розсіювання здійснюють як відношення абсолютного показника розсіювання до середньої арифметичної, що множиться на 100%.

1. Коефіцієнтом осциляціївідображає відносну коливання крайніх значень ознаки навколо середньої

.

2. Відносне лінійне відключення характеризує частку усередненого значення ознаки абсолютних відхилень від середньої величини

.

3. Коефіцієнт варіації:

є найпоширенішим показником коливання, що використовується для оцінки типовості середніх величин.

У статистиці сукупності, що мають коефіцієнт варіації більше 30-35%, прийнято вважати неоднорідними.

Такий спосіб оцінки варіації є і істотний недолік. Справді, нехай, наприклад, вихідна сукупність робітників, які мають середній стаж 15 років, із середнім квадратичним відхиленням s = 10 років, «постаріла» ще на 15 років. Тепер = 30 років, а середньоквадратичне відхилення, як і раніше, дорівнює 10. Сукупність, яка раніше була неоднорідною (10/15 × 100) = 66,7%), з часом виявляється таким чином цілком однорідною (10/30 × 100 = 33,3 %).

Боярський А.Я. Теоретичні дослідження зі статистики: Зб. Науч. Трудов.- М.: Статистика,1974. С. 19-57.

Попередня

З дисципліни: Статистика

Варіант №2

Середні величини, що застосовуються у статистиці

Введение………………………………………………………………………….3

Теоретичне завдання

Середня величина у статистиці, її сутність та умови застосування.

1.1. Сутність середньої величини та умови застосування………….4

1.2. Види середніх величин……………………………………………8

Практичне завдання

Завдання 1,2,3………………………………………………………………………14

Заключение……………………………………………………………………….21

Список використаної літератури……………………………………………...23

Вступ

Ця контрольна робота складається з двох частин – теоретичної та практичної. У теоретичній частині буде докладно розглянута така важлива статистична категорія як середня величина з метою виявлення її сутності та умов застосування, а також виділення видів середніх та способів їхнього розрахунку.

Статистика, як відомо, вивчає масові соціально-економічні явища. Кожне з цих явищ може мати різне кількісне вираження однієї й тієї ж ознаки. Наприклад, заробітна плата однієї і тієї ж професії робітників або ціни на ринку на той самий товар і т.д. Середні величини характеризують якісні показники комерційної діяльності: витрати, прибуток, рентабельність та інших.

Для вивчення будь-якої сукупності за ознаками статистика, що варіюють (кількісно змінюються), використовує середні величини.

Сутність середньої величини

Середня величина - це узагальнююча кількісна характеристика сукупності однотипних явищ за однією ознакою, що варіює. У економічній практиці використовується широке коло показників, обчислених як середніх величин.

Найважливіша властивість середньої величини полягає в тому, що вона представляє значення певної ознаки у всій сукупності одним числом, незважаючи на кількісні відмінності його в окремих одиниць сукупності, і виражає загальне, що притаманне всім одиницям сукупності, що вивчається. Отже, через характеристику одиниці сукупності вона характеризує всю сукупність загалом.

Середні величини пов'язані із законом великих чисел. Суть зв'язку у тому, що з опосередковані випадкові відхилення індивідуальних величин з дії закону великих чисел взаимопогашаются й у середньої виявляється основна тенденція розвитку, необхідність, закономірність. Середні величини дозволяють порівнювати показники, які стосуються сукупностей з різною чисельністю одиниць.

У сучасних умовах розвитку ринкових відносин в економіці середні є інструментом вивчення об'єктивних закономірностей соціально-економічних явищ. Однак у економічному аналізі не можна обмежуватися лише середніми показниками, оскільки за загальними сприятливими середніми можуть ховатися і серйозні недоліки у діяльності окремих суб'єктів господарювання, і паростки нового, прогресивного. Наприклад, розподіл населення за доходом дозволяє виявляти формування нових соціальних груп. Тому разом із середніми статистичними даними необхідно враховувати особливості окремих одиниць сукупності.

Середня величина є рівнодією всіх факторів, що впливають на явище, що вивчається. Тобто при розрахунку середніх величин взаємопогашуються вплив випадкових (пертурбаційних, індивідуальних) факторів і, таким чином, можливе визначення закономірності, властивої досліджуваному явищу. Адольф Кетле підкреслював, що значення методу середніх величин полягає у можливості переходу від одиничного до загального, від випадкового до закономірного, існування середніх величин є категорією об'єктивної дійсності.

Статистика вивчає масові явища та процеси. Кожне з таких явищ має як спільні для всієї сукупності, так і особливі, індивідуальні властивості. Відмінність між індивідуальними явищами називаються варіацією. Інша властивість масових явищ - властива їм близькість показників окремих явищ. Отже, взаємодія елементів сукупності призводить до обмеження варіації хоча б частини їх властивостей. Ця тенденція є об'єктивно. Саме в її об'єктивності полягає причина найширшого застосування середніх величин на практиці та теорії.

Середньою величиною в статистиці називається узагальнюючий показник, що характеризує типовий рівень явища в конкретних умовах місця і часу, що відображає величину ознаки, що варіює, в розрахунку на одиницю якісно однорідної сукупності.

У економічній практиці використовується широке коло показників, обчислений як середніх величин.

З допомогою методу середніх величин статистика вирішує багато завдань.

Головне значення середніх полягає у їх узагальнюючої функції, тобто заміні безлічі різних індивідуальних значень ознаки середньою величиною, що характеризує всю сукупність явищ.

Якщо середня величина узагальнює якісно однорідні значення ознаки, вона є типовою характеристикою ознаки у цій сукупності.

Однак неправильно зводити роль середніх величин тільки до характеристики типових значень ознак у однорідних за цією ознакою сукупності. Насправді значно частіше сучасна статистика використовує середні величини, узагальнюючі явно однорідні явища.

Середня величина національного доходу душу населення, середня врожайність зернових по всій країні, середнє споживання різних продуктів – це показники держави як єдиної народногосподарської системи, це звані системні середні.

Системні середні можуть характеризувати як просторові чи об'єктні системи, існуючі одномоментно (держава, галузь, регіон, планета Земля тощо.), і динамічні системи, протяжні у часі (рік, десятиліття, сезон тощо.).

Найважливіша властивість середньої величини у тому, що вона відбиває те загальне, властиве всім одиницям досліджуваної сукупності. Значення ознаки окремих одиниць сукупності коливаються у той чи інший бік під впливом безлічі чинників, серед яких може бути як основні, і випадкові. Наприклад, курс акцій корпорації загалом визначається її фінансовим становищем. У той самий час, окремі дні і окремих біржах ці акції з обставин, що склалися, можуть продаватися за вищим чи заниженим курсом. Сутність середньої в тому і полягає, що в ній взаємопогашуються відхилення значень ознаки окремих одиниць сукупності, зумовлені дією випадкових факторів, та враховуються зміни, спричинені дією основних факторів. Це дозволяє середній відображати типовий рівень ознаки та абстрагуватися від індивідуальних особливостей, властивих окремим одиницям.

Обчислення середнього - одне із поширених прийомів узагальнення; середній показник відображає те загальне, що характерно (типово) для всіх одиниць сукупності, що вивчається, в той же час він ігнорує відмінності окремих одиниць. У кожному явищі та його розвитку має місце поєднання випадковості та необхідності.

Середня – це зведена характеристика закономірностей процесу у умовах, у яких протікає.

Кожна середня характеризує досліджувану сукупність за якоюсь однією ознакою, але характеристики будь-якої сукупності, описи її типових рис і якісних особливостей потрібна система середніх показників. Тож у практиці вітчизняної статистики вивчення соціально-економічних явищ, зазвичай, обчислюється система середніх показників. Так, наприклад, показник середньої заробітної плати оцінюються спільно з показниками середнього вироблення, фондовзброєності та енергоозброєності праці, ступенем механізації та автоматизації робіт та ін.

Середня має обчислюватися з урахуванням економічного змісту досліджуваного показника. Тож конкретного показника, що у соціально економічному аналізі, можна обчислити лише одне справжнє значення середньої з урахуванням наукового методу расчета.

Середня величина це один з найважливіших узагальнюючих статистичних показників, що характеризує сукупність однотипних явищ за якоюсь кількісно варіюючою ознакою. Середні у статистиці це узагальнюючі показники, числа, що виражають типові характерні розміри суспільних явищ за однією кількісно варіюючої ознакою.

Види середніх величин

Види середніх величин різняться передусім тим, яка властивість, який параметр вихідної варіюючої маси індивідуальних значень ознаки може бути збережений незмінним.

Середня арифметична

Середньою арифметичною величиною називається таке середнє значення ознаки, при обчисленні якого загальний обсяг ознаки разом залишається незмінним. Інакше можна сказати, що середня арифметична величина – середній доданок. За її обчисленні загальний обсяг ознаки подумки розподіляється порівну між усіма одиницями сукупності.

Середня арифметична застосовується, якщо відомі значення ознаки (х) і кількість одиниць сукупності з певним значенням ознаки (f).

Середня арифметична буває простою та виваженою.

Середня арифметична проста

Проста використовується, якщо кожне значення ознаки зустрічається один раз, тобто. для кожного x значення ознаки f=1, або якщо вихідні дані не впорядковані і невідомо, скільки одиниць мають певні значення ознаки.

Формула середньої арифметичної простий має вигляд:

де – середня величина; х – значення осредняемого ознаки (варіанту), - число одиниць досліджуваної сукупності.

Середня арифметична виважена

На відміну від простої середньої середня арифметична зависла застосовується, якщо кожне значення ознаки х зустрічається кілька разів, тобто. кожного значення ознаки f≠1. Ця середня широко використовується при обчисленні середньої на підставі дискретного ряду розподілу:

де - число груп, х - значення осредняемого ознаки, f - вага значення ознаки (частота, якщо f - число одиниць сукупності; часто, якщо f - частка одиниць з варіантом х у загальному обсязі сукупності).

Середня гармонійна

Поряд із середньою арифметичною, у статистиці застосовується середня гармонійна величина, обернена середньою арифметичною зі зворотних значень ознаки. Як і середня арифметична, вона може бути простою та виваженою. Застосовується вона тоді, коли необхідні ваги (f i) у вихідних даних не задані безпосередньо, а входять змножувачем в одні з наявних показників (тобто тоді, коли відомий чисельник вихідного співвідношення середньої, але невідомий його знаменник).

Середня гармонійна зважена

Твір xf дає обсяг ознаки х для сукупності одиниць і позначається w. Якщо вихідних даних є значення осредняемого ознаки х і обсяг осредняемого ознаки w, то розрахунку середньої застосовується гармонійна зважена:

де х - значення ознаки х (варіанту); w - вага варіанти х, обсяг ознаки, що осредняється.

Середня гармонійна не зважена (проста)

Ця форма середньої, що використовується значно рідше, має такий вигляд:

де х - значення ознаки, що осредняється; n - Число значень х.

Тобто. це обернена величина середньої арифметичної простий із обернених значень ознаки.

Насправді середня гармонійна проста застосовується рідко, тоді, коли значення w для одиниць сукупності рівні.

Середня квадратична та середня кубічна

У ряді випадків в економічній практиці виникає потреба розрахунку середнього розміру ознаки, вираженого у квадратних чи кубічних одиницях виміру. Тоді застосовується середня квадратична (наприклад, для обчислення середньої величини сторони та квадратних ділянок, середніх діаметрів труб, стовбурів тощо) та середня кубічна (наприклад, при визначенні середньої довжини сторони та кубів).

Якщо при заміні індивідуальних величин ознаки на середню величину необхідно зберегти незмінною суму квадратів вихідних величин, то середня буде квадратичною середньою величиною, простою або зваженою.

Середня квадратична проста

Проста використовується, якщо кожне значення ознаки х зустрічається один раз, загалом має вигляд:

де - Квадрат значень осредняемого ознаки; - Число одиниць сукупності.

Середня квадратична виважена

Середня квадратична зважена застосовується, якщо кожне значення ознаки х зустрічається f разів:

,

де f - вага варіанти х.

Середня кубічна проста і зважена

Середня кубічна проста є кубічним коренем із приватного від розподілу суми кубів окремих значень ознаки на їх число:

де - значення ознаки, n- їх число.

Середня кубічна зважена:

,

де f-вага варіанти х.

Середня квадратична та кубічна мають обмежене застосування у практиці статистики. Широко користується статистика середньої квадратичної, але з самих варіантів x , та їх відхилень від середньої при розрахунку показників варіації.

Середня може бути обчислена не для всіх, а для будь-якої частини одиниць сукупності. Прикладом такої середньої може бути середня прогресивна як одна з приватних середніх, яка обчислюється не для всіх, а тільки для "кращих" (наприклад, для показників вище або нижче за середні індивідуальні).

Середня геометрична

Якщо значення ознаки, що осредняется, істотно відстоять один від одного або задані коефіцієнтами (темпи зростання, індекси цін), то для розрахунку застосовують середню геометричну.

Середня геометрична обчислюється вилученням кореня ступеня та з творів окремих значень - варіантів ознаки х:

де n – число варіантів; П – знак твору.

Найбільш широке застосування середня геометрична отримала визначення середніх темпів зміни у лавах динаміки, і навіть у лавах розподілу.

Середні величини - це узагальнюючі показники, у яких виражають дію загальних умов, закономірність досліджуваного явища. Статистичні середні розраховуються з урахуванням масових даних правильно статистично організованого масового спостереження (суцільного чи вибіркового). Проте статистична середня буде об'єктивною і типовою, якщо вона розраховується за масовими даними для якісно однорідної сукупності (масових явищ). Застосування середніх має виходити з діалектичного розуміння категорій загального та індивідуального, масового та одиничного.

Поєднання загальних середніх із груповими середніми дає можливість обмежити якісно однорідні сукупності. Розчленовуючи масу об'єктів, що становлять те чи інше складне явища, на внутрішньо однорідні, але якісно різні групи, характеризуючи кожну з груп своєї середньої, можна розкрити резерви процесу нової якості. Наприклад, розподіл населення за доходом дозволяє виявити формування нових соціальних груп. В аналітичній частині ми розглянули окремий приклад використання середньої величини. Підсумовуючи можна сказати, що область застосування та використання середніх величин у статистиці досить широка.

Практичне завдання

Завдання №1

Визначити середній курс купівлі та середній курс продажу одного та $ США

Середній курс покупки

Середній курс продажу

Завдання №2

Динаміка обсягу власної продукції громадського харчування Челябінської області за 1996-2004 року представлена ​​в таблиці у порівнянних цінах (млн. руб.)

Зробити змикання рядів А і В. Для аналізу низки динаміки виробництва готової продукції обчислити:

1. Абсолютні прирости, темпи зростання та приросту ланцюгові та базисні

2. Середньорічне виробництво готової продукції

3. Середньорічний темп зростання та приросту продукції фірми

4. Провести аналітичне вирівнювання низки динаміки та обчислити прогноз на 2005 рік

5. Зобразити графічно ряд динаміки

6. Зробити висновок за результатами динаміки

1) уi Б = уi-у1 уi Ц = уi-у1

y2 Б = 2,175 - 2,04 y2 Ц = 2,175 - 2, 04 = 0,135

y3Б = 2,505 - 2,04 y3 Ц = 2, 505 - 2,175 = 0,33

y4 Б = 2,73 - 2,04 y4 Ц = 2, 73 - 2,505 = 0,225

y5 Б = 1,5 - 2,04 y5 Ц = 1, 5 - 2,73 = 1,23

y6 Б = 3,34 - 2,04 y6 Ц = 3, 34 - 1,5 = 1,84

y7 Б = 3,6 3 - 2,04 y7 Ц = 3, 6 3 - 3,34 = 0,29

y8 Б = 3,96 - 2,04 y8 Ц = 3, 96 - 3,63 = 0,33

y9 Б = 4,41-2,04 y9 Ц = 4, 41 - 3,96 = 0,45

Тр Б2 Тр Ц2

Тр Б3 Тр Ц3

Тр Б4 Тр Ц4

Тр Б5 Тр Ц5

Тр Б6 Тр Ц6

Тр Б7 Тр Ц7

Тр Б8 Тр Ц8

Тр Б9 Тр Ц9

Тр Б = (ТпрБ * 100%) - 100%

Тр Б2 = (1,066 * 100%) - 100% = 6,6%

Тр Ц3 = (1,151 * 100%) - 100% = 15,1%

2) y млн. руб. - Середня продуктивність продукції

2,921 + 0,294*(-4) = 2,921-1,176 = 1,745

2,921 + 0,294*(-3) = 2,921-0,882 = 2,039

(yt-y) = (1,745-2,04) = 0,087

(yt-yt) = (1,745-2,921) = 1,382

(y-yt) = (2,04-2,921) = 0,776

Tp

Бy

y2005 = 2,921 +1,496 * 4 = 2,921 +5,984 = 8,905

8,905+2,306*1,496=12,354

8,905-2,306*1,496=5,456

5,456 2005 12,354

Завдання №3

Статистичні дані оптових поставок продовольчих та непродовольчих та роздрібну торговельну мережу області у 2003 та 2004 роках представлені у відповідних графіках.

За даними таблиці 1 та 2 потрібно

1. Знайти загальний індекс оптового постачання продовольчих товарів у фактичних цінах;

2. Знайти загальний індекс фактичного обсягу постачання продовольчих товарів;

3. Порівняти загальні індекси та зробити відповідний висновок;

4. Знайти загальний індекс постачання непродовольчих товарів у фактичних цінах;

5. Знайти загальний індекс фізичного обсягу постачання непродовольчих товарів;

6. Порівняти отримані індекси та зробити висновок щодо непродовольчих товарів;

7. Знайти зведений загальний індекси постачання всієї товарної маси у фактичних цінах;

8. Знайти зведений загальний індекс фізичного обсягу (по всій товарній масі товарів);

9. Порівняти отриманий зведені індекси та зробити відповідний висновок.

	Базисний період			Звітний період (2004)			Постачання звітного періоду в цінах базисного періоду
			1,291-0,681=0,61= - 39 Висновок У висновку підіб'ємо підсумки. Середні величини - це узагальнюючі показники, у яких виражають дію загальних умов, закономірність досліджуваного явища. Статистичні середні розраховуються з урахуванням масових даних правильно статистично організованого масового спостереження (суцільного чи вибіркового). Проте статистична середня буде об'єктивною і типовою, якщо вона розраховується за масовими даними для якісно однорідної сукупності (масових явищ). Застосування середніх має виходити з діалектичного розуміння категорій загального та індивідуального, масового та одиничного. Середня відбиває те загальне, що складається у кожному окремому, одиничному об'єкті завдяки цьому середня отримує велике значення виявлення закономірностей властивих масовим суспільним явищам і непомітних в одиничних явищах. Відхилення індивідуального від загального – прояв процесу розвитку. В окремих поодиноких випадках можуть бути закладені елементи нового, передового. У цьому випадку саме конкретний фактор, взятий на фоні середніх величин, характеризує процес розвитку. Тому в середній і відображається характерний, типовий, реальний рівень явищ, що вивчаються. Характеристики цих рівнів та їх змін у часі та у просторі є одним із головних завдань середніх величин. Так, через середні проявляється, наприклад, властива підприємствам певному етапі економічного розвитку; зміна добробуту населення знаходить своє відображення у середніх показниках заробітної плати, доходів сім'ї в цілому та за окремими соціальними групами, рівня споживання товарів, товарів та послуг. Середній показник - це значення типове (звичайне, нормальне, що склалося в цілому), але таким воно є з того, що формується в нормальних, природних умовах існування конкретного масового явища, що розглядається в цілому. Середня відображає об'єктивну властивість явища. Насправді часто існує тільки явища, що відхиляються, і середня як явища може і не існувати, хоча поняття типовості явища і запозичується з дійсності. Середня величина є відображення значення досліджуваного ознаки і, отже, вимірюється у тому ж розміреності як і ця ознака. Однак існують різні способи наближеного визначення рівня розподілу чисельності для порівняння зведених ознак, що безпосередньо не порівняються між собою, наприклад середня чисельність населення по відношенню до території (середня щільність населення). Залежно від того, який саме фактор потрібно елімінувати, перебуватиме і зміст середньої. Поєднання загальних середніх із груповими середніми дає можливість обмежити якісно однорідні сукупності. Розчленовуючи масу об'єктів, що становлять те чи інше складне явища, на внутрішньо однорідні, але якісно різні групи, характеризуючи кожну з груп своєї середньої, можна розкрити резерви процес нової якості. Наприклад, розподіл населення за доходом дозволяє виявити формування нових соціальних груп. В аналітичній частині ми розглянули окремий приклад використання середньої величини. Підсумовуючи можна сказати, що область застосування та використання середніх величин у статистиці досить широка Список використаної літератури 1. Гусаров, В.М. Теорія статистики якістю [Текст]: навч. посібник/В.М. Гусарів посібник для вузів. - М., 1998 2. Єдронова, Н.М. Загальна теоріястатистики [Текст]: підручник/За ред. Н.М. Едронової – М.: Фінанси та статистика 2001 – 648 с. 3. Єлісєєва І.І., Юзбашев М.М. Загальна теорія статистики [Текст]: Підручник/За ред. чл.-кор. РАН І.І.Єлісєєвої. - 4-е вид., Перероб. та дод. – М.: Фінанси та статистика, 1999. – 480с.: іл. 4. Єфімова М.Р., Петрова Є.В., Рум'янцев В.М. Загальна теорія статистики: [Текст]: Підручник. - М: ІНФРА-М, 1996. - 416с. 5. Ряузова, Н.М. Загальна теорія статистики [Текст]: підручник/За ред. Н.М. Ряузова - М.: Фінанси та статистика, 1984. Гусаров В.М. Теорія статистики: Навч. Посібник для вузів. - М., 1998.-С.60. Єлісєєва І.І., Юзбашев М.М. Загальна теорія статистики. - М., 1999.-С.76. Гусаров В.М. Теорія статистики: Навч. Посібник для вузів. -М., 1998.-С.61.

Велике поширення у статистиці мають середні величини. Середні величини характеризують якісні показники комерційної діяльності: витрати, прибуток, рентабельність та інших.

Середня - це один із найпоширеніших прийомів узагальнень. Правильне розуміння сутності середньої визначає її особливу значимість в умовах ринкової економіки, коли середня через одиничне та випадкове дозволяє виявити загальне та необхідне, виявити тенденцію закономірностей економічного розвитку.

Середня величина - це узагальнюючий показник, у якому знаходять вираз дії загальних умов, закономірностей досліджуваного явища.

Статистичні середні розраховуються на основі масових даних правильно статистично організованого масового спостереження (суцільного та вибіркового). Проте статистична середня буде об'єктивною і типовою, якщо вона розраховується за масовими даними для якісно однорідної сукупності (масових явищ). Наприклад, якщо розраховувати середню заробітну платуу кооперативах і на держпідприємствах, а результат поширити на всю сукупність, то середня фіктивна, оскільки розрахована за неоднорідною сукупністю, і така середня втрачає будь-який сенс.

За допомогою середньої відбувається хіба що згладжування відмінностей у величині ознаки, що виникають з тих чи інших причин в окремих одиниць спостереження.

Наприклад, середнє вироблення продавця залежить багатьох причин: кваліфікації, стажу, віку, форми обслуговування, здоров'я тощо.

Середнє вироблення відбиває загальне властивість всієї сукупності.

Середня величина є відображенням значень досліджуваного ознаки, отже, вимірюється у тому розмірності, як і цей ознака.

Кожна середня величина характеризує досліджувану сукупність за якоюсь однією ознакою. Щоб отримати повне і всебічне уявлення про досліджувану сукупність по ряду істотних ознак, необхідно мати систему середніх величин, які можуть описати явище з різних сторін.

Існують різні середні:

* Середня арифметична;

* Середня геометрична;

* Середня гармонійна;

* Середня квадратична;

* Середня хронологічна.

Розглянемо деякі види середніх, які найчастіше використовуються у статистиці.

Середня арифметична

Середня арифметична проста (невиважена) дорівнює сумі окремих значень ознаки, поділеної на число цих значень.

Окремі значення ознаки називають варіантами та позначають через х(); число одиниць сукупності позначають через n, середнє значення ознаки – через . Отже, середня арифметична проста дорівнює:

За даними дискретного ряду розподілу видно, що одні й самі значення ознаки (варіанти) повторюються кілька разів. Так, наприклад, варіанти х зустрічається разом 2 рази, а варіанти х-16 разів і т.д.

Число однакових значень ознаки в рядах розподілу називається частотою або вагою та позначається символом n.

Обчислимо середню заробітну плату одного робітника в руб.:

Фонд заробітної плати по кожній групі робітників дорівнює добутку варіанти на частоту, а сума цих творів дає загальний фонд заробітної плати всіх робітників.

Відповідно до цього, розрахунки можна подати у загальному вигляді:

Отримана формула називається середньою арифметичною завислою.

Статистичний матеріал у результаті обробки може бути представлений у вигляді дискретних рядів розподілу, а й у вигляді інтервальних варіаційних рядів із закритими чи відкритими інтервалами.

Обчислення середньої за згрупованими даними проводиться за формулою середньої арифметичної зваженої.

У практиці економічної статистики іноді доводиться обчислювати середню за груповим середнім або середнім окремих частин сукупності (приватним середнім). У разі за варіанти (х) приймаються групові чи приватні середні, виходячи з яких обчислюється загальна середня як звичайна середня арифметична зважена.

Середня гармонійна

Поряд із середньою арифметичною, у статистиці застосовується середня гармонійна величина, обернена середньою арифметичною зі зворотних значень ознаки. Як і середня арифметична, вона може бути простою та виваженою.

Характеристиками варіаційних рядів, поряд із середніми, є модаі медіана.

Мода - це величина ознаки (варіанту), що найчастіше повторюється в досліджуваній сукупності. Для дискретних рядів розподілу модою буде значення варіанта з максимальною частотою.

Для інтервальних рядів розподілу з рівними інтервалами мода визначається за такою формулою:

де - Початкове значення інтервалу, що містить моду;

Розмір модального інтервалу;

Частота модального інтервалу;

Частота інтервалу, що передує модальному;

Частота інтервалу, наступного за модальним.

Медіана - це варіанти, розташована в середині варіаційного ряду. Якщо ряд розподілу дискретний і має непарне число членів, то медіаною буде варіанта, що знаходиться в середині впорядкованого ряду (упорядкований ряд - це розташування одиниць сукупності у порядку, що зростає або спадає). Медіана визначається за такою формулою:

,

де - нижня межа інтервалу, що містить медіану (інтервал визначається за накопиченою частотою, першою перевищує 50% суми частот),

i – величина цього інтервалу,

Напівсума частот ряду,

Накопичена частота інтервалу, що передує медіанному,

Частота медіанного інтервалу.

Завдання №1.Робітники одного цеху підприємства розподіляються таким чином за розміром заробітної плати у цьому цеху:

Визначте середній стаж роботи робітників цеху.

Рішення:

Знайдемо середню заробітну плату робітників за формулою середньої арифметичної виваженої: , де x- Величина зарплати, n– кількість працівників, які мають цю зарплату, - середня зарплата по цеху, - кількість працівників цеху.

586/65 = 9,01 (тис. руб.)

Завдання №2.Є дані про підприємство:

Визначити моду.

Рішення:

Для вирішення застосуємо формулу В даному випадку модальним буде інтервал від 6 до 8 (т.к. це найбільш часто повторюється інтервал).

Значить, = 6,77 років

Завдання №3.На основі даних із завдання №2 визначити медіану.

Рішення:

Застосуємо формулу .

Для вирішення збудуємо таблицю для обчислення накопичених частот:

В даному випадку медіанним є інтервал від 6 до 8 (оскільки всього робітників 100, а п'ятдесятий робітник знаходиться в даному інтервалі). Отже, = 6,17 років.

Показники варіації

Відмінність індивідуальних значень ознаки всередині досліджуваної сукупності у статистиці називається варіацією ознаки .

Вона виникає внаслідок того, що його індивідуальні значення складаються під сукупним впливом різноманітних факторів, які по-різному поєднуються у кожному окремому випадку.

Середня величина - це абстрактна, узагальнююча характеристика ознаки сукупності, що вивчається, але вона не показує будови сукупності, яка дуже істотна для її пізнання. Середня величина не дає уявлення про те, як окремі значення ознаки, що вивчається, групуються навколо середньої, зосереджені вони поблизу або значно відхиляються від неї. У деяких випадках окремі значення ознаки близько примикають до середньої арифметичної та мало від неї відрізняються. У разі середня добре представляє всю сукупність.

В інших, навпаки, окремі значення сукупності далеко відстають від середньої і середня погано представляє всю сукупність.

Коливання окремих значень характеризують показники варіації.

Термін "варіація" походить від латинського variatio - "зміна, коливання, відмінність". Однак не всі відмінності прийнято називати варіацією. Під варіацією в статистиці розуміють такі кількісні зміни величини досліджуваного ознаки в межах однорідної сукупності, які обумовлені впливом дії різних факторів, що перехрещується. Розрізняють варіацію ознаки: випадкову та систематичну.

Аналіз систематичної варіації дозволяє оцінити рівень залежності змін у досліджуваному ознакі від визначальних її чинників. Наприклад, вивчаючи силу і характер варіації в сукупності, можна оцінити, наскільки однорідною є дана сукупність у кількісному, а іноді і якісному відношенні, а отже, наскільки характерною є обчислена середня величина. Ступінь близькості даних окремих одиниць до середньої вимірюється поряд абсолютних, середніх та відносних показників.

Для характеристики сукупностей і обчислених величин важливо знати, яка варіація ознаки, що вивчається, ховається за середнім.

Для характеристики коливання ознаки використовується ряд показників. Найпростіший із них - розмах варіації.

Розмах варіації - це різниця між найбільшим () та найменшим () значеннями варіантів.

Щоб дати узагальнювальну характеристику розподілу відхилень, обчислюють середнє лінійне відхилення d, яке враховує відмінність всіх одиниць сукупності, що вивчається.

Середнє лінійне відхилення визначається як середня арифметична із відхилень індивідуальних значень від середньої, без урахування знака цих відхилень:

Якщо дані спостереження представлені як дискретного ряду розподілу з частотами, середнє лінійне відхилення обчислюється за формулою середньої арифметичної зваженої:

Основними узагальнюючими показниками варіації у статистиці є дисперсії та середнє квадратичне відхилення.

Дисперсія - це середня арифметична квадратів відхилень кожного значення ознаки від загальної середньої. Дисперсія зазвичай називається середнім квадратом відхилень і позначається (або 2). Залежно від вихідних даних дисперсія може обчислюватися за середньою арифметичною простою або зваженою:

- дисперсія невважена (проста);

- дисперсія зважена.

Середнє квадратичне відхилення являє собою квадратний корінь з дисперсії і позначається S (або δ):

- середнє квадратичне відхилення незважене;

- Середнє квадратичне відхилення виважене.

Середнє квадратичне відхилення- це узагальнююча характеристика абсолютних розмірів варіації ознаки у сукупності. Виражається воно у тих самих одиницях виміру, як і ознака (у метрах, тоннах, відсотках, гектарах тощо.).

Середнє квадратичне відхилення є мірилом середньої надійності. Чим менше середнє квадратичне відхилення, тим краще середня арифметична відбиває собою всю сукупність, що представляється.

Обчислення середнього квадратичного відхилення передує розрахунок дисперсії.

Спрощений розрахунок дисперсії зваженої (за формулою).

Для характеристики міри коливання досліджуваного ознаки обчислюються показники коливання у відносних величинах. Вони дозволяють порівнювати характер розсіювання в різних розподілах (різні одиниці спостереження однієї й тієї ж ознаки у двох сукупностях, при різних значеннях середніх, при порівнянні різноїменних сукупностей). Розрахунок показників міри відносного розсіювання здійснюють як відношення абсолютного показника розсіювання до середньої арифметичної, що множиться на 100%.

1. Коефіцієнт осциляціївідображає відносну коливання крайніх значень ознаки навколо середньої.

2. Відносне лінійне відхиленняхарактеризує частку усередненого значення абсолютних відхилень від середньої величини.

3. Коефіцієнт варіації.

Враховуючи, що середньоквадратичне відхилення дає узагальнюючу характеристику коливання всіх варіантів сукупності, коефіцієнт варіації є найбільш поширеним показником коливання, використовуваним для оцінки типовості середніх величин. При цьому виходять з того, що якщо більше 40%, то це говорить про велику коливність ознаки в досліджуваній сукупності.

Загальна дисперсія δ 2 вимірює варіацію ознаки у всій сукупності під впливом всіх факторів, що зумовили цю варіацію:

Міжгрупова дисперсія δ 2 xхарактеризує систематичну варіацію, тобто відмінності у величині досліджуваної ознаки, що виникають під впливом ознаки-фактора, покладеної в основу угруповання. Вона розраховується за формулою

,

де ` х iі n i- відповідно групові середні та чисельності за окремими групами.

Внутрішньогрупова дисперсія відбиває випадкову варіацію, тобто. частина варіації, що відбувається під впливом неврахованих факторів і не залежить від ознаки-фактора, покладеного в основу угруповання. Вона обчислюється так:

Середня із внутрішньогрупових дисперсій

Існує закон, що пов'язує три види дисперсії. Загальна дисперсія дорівнює сумі середньої із внутрішньогрупових та міжгрупових дисперсій:

δ 2 =` δ 2 i+ δ 2 x.

У статистичному аналізі широко використовується показник, що є частиною міжгрупової дисперсії у спільній дисперсії. Він має назву емпіричного коефіцієнта детермінації

Середня величина- це узагальнюючий показник статистичної сукупності, що погашає індивідуальні відмінності значень статистичних величин, дозволяючи порівнювати різні сукупності між собою.

Існує 2 класисередніх величин: і .

До структурних середніх відносяться модаі медіана, але найчастіше застосовуються статечні середнірізних видів.

Ступінні середні величини

Ступінні середні можуть бути простимиі зваженими.

Проста середня величинарозраховується за наявності двох і більше незгрупованихстатистичних величин, розташованих у довільному порядку за такою загальною формулою:

Зважена середня величинарозраховується за згрупованимстатистичним величинам з використанням наступної загальної формули:

Де X – значення окремих статистичних величин чи середин групувальних інтервалів;
m - показник ступеня, від значення якого залежать такі види статечних середніх величин:
при m = -1;
при m = 0;
при m = 1;
при m = 2;
при m = 3.

Використовуючи загальні формули простої та виваженої середніх за різних показників ступеня m, отримуємо приватні формули кожного виду, які будуть далі докладно розглянуті.

Середня арифметична

Середня арифметична- це найчастіше використовувана середня величина, яка виходить, якщо підставити на загальну формулу m=1. Середня арифметична простамає такий вигляд:

Де X - значення величин, котрим необхідно розрахувати середнє значення; N - загальна кількість значень X (кількість одиниць у досліджуваній сукупності).

Наприклад, студент склав 4 іспити та отримав наступні оцінки: 3, 4, 4 та 5. Розрахуємо середній бал за формулою середньої арифметичної простий: (3+4+4+5)/4 = 16/4 = 4.

Середня арифметична зваженамає такий вигляд:

Де f – кількість величин з однаковим значенням X (частота).

Наприклад, студент склав 4 іспити та отримав наступні оцінки: 3, 4, 4 та 5. Розрахуємо середній бал за формулою середньої арифметичної зваженої: (3*1 + 4*2 + 5*1)/4 = 16/4 = 4.

Якщо значення X задані у вигляді інтервалів, то для розрахунків використовують середини інтервалів X, які визначаються як півсума верхньої та нижньої меж інтервалу. А якщо у інтервалу X відсутня нижня або верхня межа (відкритий інтервал), то для її знаходження застосовують розмах (різницю між верхньою та нижньою межею) сусіднього інтервалу X.

Наприклад, на підприємстві 10 працівників зі стажем роботи до 3 років, 20 – зі стажем від 3 до 5 років, 5 працівників – зі стажем понад 5 років. Тоді розрахуємо середній стаж працівників за формулою середньої арифметичної зваженої, прийнявши як X середину інтервалів стажу (2, 4 та 6 років):
(2 * 10 +4 * 20 +6 * 5) / (10 +20 +5) = 3,71 року.

Середня арифметична застосовується найчастіше, але трапляються випадки, коли необхідно застосування інших видів середніх величин. Розглянемо такі випадки.

Середня гармонійна

Середня гармонійназастосовується, коли вихідні дані не містять частот f за окремими значеннями X, а представлені як їхнє твір Xf. Позначивши Xf=w, виразимо f=w/X, і, підставивши ці позначення формулу середньої арифметичної зваженої, отримаємо формулу середньої гармонійної зваженої:

Таким чином, середня гармонійна зависла застосовується тоді, коли невідомі частоти f, а відомо w = Xf. У тому випадку, коли все w=1, тобто індивідуальні значення X зустрічаються по 1 разу, застосовується формула середньої гармонійної простий:

Наприклад, автомобіль їхав із пункту А до пункту Б зі швидкістю 90 км/год, а назад - зі швидкістю 110 км/год. Для визначення середньої швидкості застосуємо формулу середньої гармонійної простий, так як у прикладі дано відстань w 1 = w 2 (відстань з пункту А в пункт Б така, як і з Б в А), яка дорівнює добутку швидкості (X) на час ( f). Середня швидкість = (1+1)/(1/90+1/110) = 99 км/год.

Середня геометрична

Середня геометричназастосовується щодо середніх відносних змін, що сказано у темі Ряды динаміки . Геометрична середня величина дає найбільш точний результат осреднения, якщо завдання стоїть у знаходженні такого значення X, який би рівновіддалений як від максимального, і від мінімального значення X.

Наприклад, у період із 2005 по 2008 роки індекс інфляціїу Росії становив: 2005 року - 1,109; у 2006 – 1,090; у 2007 – 1,119; у 2008 – 1,133. Так як індекс інфляції - це відносна зміна (індекс динаміки), то розраховувати середнє значення потрібно за середньою геометричною: (1,109 * 1,090 * 1,119 * 1,133) ^ (1/4) = 1,1126, тобто за період з 2005 по 2008 щорічно ціни зростали у середньому на 11,26%. Помилковий розрахунок за середньою арифметикою дав би неправильний результат 11,28%.

Середня квадратична

Середня квадратичназастосовується у тих випадках, коли вихідні значення X можуть бути як позитивними, так і негативними, наприклад, при розрахунку середніх відхилень.

Головною сферою застосування квадратичної середньої є вимірювання варіації значень X, про що йтиметься.

Середня кубічна

Середня кубічназастосовується вкрай рідко, наприклад, при розрахунку індексів злиднів населення для країн (ІПН-1) і для розвинених (ІПН-2), запропонованих і розрахованих ООН.

Структурні середні величини

До найчастіше використовуваних структурним середнімвідносяться і .

Статистична мода

Статистична мода- це найбільш часто повторюється значення величини X у статистичній сукупності.

Якщо X заданий дискретното мода визначається без обчислення як значення ознаки з найбільшою частотою. У статистичній сукупності буває 2 і більше моди, тоді вона вважається бімодальної(якщо моди дві) або мультимодальний(якщо мод більше двох), і це свідчить про неоднорідність сукупності.

Наприклад, на підприємстві працює 16 осіб: 4 з них - зі стажем 1 рік, 3 особи - зі стажем 2 роки, 5 - зі стажем 3 роки та 4 особи - зі стажем 4 роки. Таким чином, модальний стаж Мо=3 роки, оскільки частота цього максимальна (f=5).

Якщо X заданий рівними інтервалами, то спочатку визначається модальний інтервал як інтервал із найбільшою частотою f. Усередині цього інтервалу знаходять умовне значення моди за такою формулою:

Де Мо – мода;
Х НМо – нижня межа модального інтервалу;
h Мо – розмах модального інтервалу (різниця між його верхнім та нижнім кордоном);
f Мо – частота модального інтервалу;
f Мо-1 – частота інтервалу, що передує модальному;
f Мо+1 – частота інтервалу, наступного за модальним.

Наприклад, на підприємстві 10 працівників зі стажем роботи до 3 років, 20 – зі стажем від 3 до 5 років, 5 працівників – зі стажем понад 5 років. Розрахуємо модальний стаж роботи в модальному інтервалі від 3 до 5 років: Мо = 3 + 2 * (20-10) / (2 * 20-10-5) = 3,8 (року).

Якщо розмах інтервалів h різний, замість частот f необхідно використовувати щільності інтервалів, розраховані шляхом поділу частот f на розмах інтервалу h.

Статистична медіана

Статистична медіана- Це значення величини X, яке ділить впорядковану за зростанням або спаданням статистичну сукупність на 2 рівних за чисельністю частини. У результаті однієї половини значення більше медіани, а другої - менше медіани.

Якщо X заданий дискретно, то визначення медіани всі значення нумеруються від 0 до N в порядку збільшеннятоді медіана при парному числі N лежатиме посередині між X c номерами 0,5N і (0,5N+1), а при непарному числі N відповідатиме значенню X з номером 0,5(N+1).

Наприклад, є дані про вік студентів-заочників у групі з 10 осіб - X: 18, 19, 19, 20, 21, 23, 23, 25, 28, 30 років. Ці дані вже впорядковані за зростанням, а їх кількість N=10 - парна, тому медіана буде між X з номерами 0,5*10=5 і (0,5*10+1)=6, яким відповідають значення X 5 = 21 і X 6 = 23, тоді медіана: Ме = (21 +23) / 2 = 22 (року).

Якщо X заданий у вигляді рівних інтервалів, спочатку визначається медіанний інтервал (інтервал, в якому закінчується одна половина частот f і починається інша половина), в якому знаходять умовне значення медіани за формулою:

Де Ме – медіана;
Х НМе – нижня межа медіанного інтервалу;
h Ме – розмах медіанного інтервалу (різниця між його верхнім та нижнім кордоном);
f Ме – частота медіанного інтервалу;
f Ме-1 – сума частот інтервалів, що передують медіанному.

У раніше розглянутому прикладі при розрахунку модального стажу (на підприємстві 10 працівників зі стажем роботи до 3 років, 20 – зі стажем від 3 до 5 років, 5 працівників – зі стажем понад 5 років) розрахуємо медіанний стаж. Половина загальної кількості працівників становить (10+20+5)/2 = 17,5 і перебуває у інтервалі від 3 до 5 років, а першому інтервалі до 3 років - лише 10 працівників, а перших двох - (10+20) =30, що більше 17,5, отже інтервал від 3 до 5 років – медіанний. Усередині нього визначаємо умовне значення медіани: Ме = 3 +2 * (0,5 * 30-10) / 20 = 3,5 (року).

Також як і у випадку з модою, при визначенні медіани, якщо розмах інтервалів h різний, то замість частот f необхідно використовувати щільності інтервалів, що розраховуються шляхом розподілу частот f на розмах інтервалу h.

Показники варіації

Варіація- це відмінність значень величин X в окремих одиниць статистичної сукупності. Для вивчення сили варіації розраховують наступні показники варіації: , , , , .

Розмах варіації

Розмах варіації- це різниця між максимальним і мінімальним значеннями X з наявних у статистичній сукупності, що вивчається:

Недоліком показника H є те, що він показує лише максимальну відмінність значень X і не може вимірювати силу варіації у всій сукупності.

Середнє лінійне відхилення

Середнє лінійне відхилення– це середній модуль відхилень значень X від середнього арифметичного значення. Його можна розраховувати за формулою середньої арифметичної простий- отримаємо :

Наприклад, студент склав 4 іспити та отримав наступні оцінки: 3, 4, 4 та 5. = 4. Розрахуємо середнє лінійне відхилення просте: Л = (|3-4|+|4-4|+|4-4|+| 5-4 |) / 4 = 0,5.

Якщо вихідні дані X згруповані (є частоти f), то розрахунок середнього лінійного відхилення виконується за формулою середньої арифметичної зваженою- отримаємо :

Повернемося наприклад для студента, який склав 4 іспити і отримав такі оцінки: 3, 4, 4 та 5. = 4 і = 0,5. Розрахуємо середнє лінійне відхилення зважене: Л = (|3-4|*1+|4-4|*2+|5-4|*1)/4 = 0,5.

Лінійний коефіцієнт варіації

Лінійний коефіцієнт варіації- це відношення середнього лінійного відхилення до середньої арифметичної:

З допомогою лінійного коефіцієнта варіації можна порівнювати варіацію різних сукупностей, оскільки на відміну середнього лінійного відхилення його значення залежить від одиниць виміру X.

У прикладі для студента, який склав 4 іспити і отримав наступні оцінки: 3, 4, 4 і 5, лінійний коефіцієнт варіації складе 0,5/4 = 0,125 або 12,5%.

Дисперсія

Дисперсія– це середній квадрат відхилень значень X від середнього арифметичного значення. Дисперсію можна розраховувати за формулою середньої арифметичної простий- отримаємо дисперсію просту:

У вже знайомому нам прикладі про студента, який склав 4 іспити та отримав оцінки: 3, 4, 4 та 5, = 4. Тоді дисперсія проста Д = ((3-4) 2 +(4-4) 2 +(4- 4) 2 + (5-4) 2) / 4 = 0,5.

Якщо вихідні дані X згруповані (є частоти f), то розрахунок дисперсії виконується за формулою середньої арифметичної зваженою- отримаємо дисперсію зважену:

У прикладі для студента, який склав 4 іспити і отримав наступні оцінки: 3, 4, 4 і 5, розрахуємо дисперсію зважену: Д = ((3-4) 2 *1+(4-4) 2 *2+(5) -4) 2 * 1) / 4 = 0,5.

Якщо перетворити формулу дисперсії (розкрити дужки в чисельнику, почленно розділити на знаменник і навести подібні), то можна отримати ще одну формулу для її розрахунку як різницю середньої квадратів і середньої квадрату:

Ще простіше можна знайти середнє квадратичне відхиленняякщо попередньо розрахована дисперсія, як корінь квадратний з неї:

У прикладі для студента, в якому вище, знайдемо середнє квадратичне відхилення як корінь квадратний з неї: .

Квадратичний коефіцієнт варіації

Квадратичний коефіцієнт варіації- це найпопулярніший відносний показник варіації:

Критеріальним значеннямквадратичного коефіцієнта варіації V служить 0,333 або 33,3%, тобто якщо V менше або дорівнює 0,333 – варіація вважає слабкою, а якщо більше 0,333 – сильною. У разі сильної варіації вивчена статистична сукупність вважається неоднорідний, а середня величина - нетиповоюі його не можна використовувати як узагальнюючий показник цієї сукупності.

У прикладі для студента, у якому вище, знайдемо квадратичний коефіцієнт варіації V = 0,707/4 = 0,177, що менше критеріального значення 0,333, отже варіація слабка і дорівнює 17,7%.