Допомога по Теле2, тарифи, питання

228. У цьому розділі ми головним чином розумітимемо під позначеннями відрізків AB, AC і т. д. числа, що виражають їх.

Ми знаємо (п. 226), якщо дані геометрично два відрізка a і b, ми можемо побудувати середній пропорційний з-поміж них. Нехай тепер відрізки дано не геометрично, а числами, тобто під a і b розумітимемо числа, що виражають 2 даних відрізка. Тоді знаходження середнього пропорційного відрізка зведеться до знаходження числа x з пропорції a/x = x/b де a, b і x числа. З цієї пропорції маємо:

x 2 = ab
x = √ab

229. Нехай маємо прямокутний трикутник ABC (чер. 224).

Опустимо з вершини його прямого кута (B прямий) перпендикуляр BD на гіпотенузу AC. Тоді з п. 225 ми знаємо:

1) AC/AB = AB/AD та 2) AC/BC = BC/DC.

Звідси ми отримуємо:

AB 2 = AC · AD та BC 2 = AC · DC.

Склавши частинами отримані рівності, отримаємо:

AB 2 + BC 2 = AC · AD + AC · DC = AC (AD + DC).

тобто. квадрат числа, що виражає гіпотенузу, дорівнює сумі квадратів чисел, що виражають катети прямокутного трикутника.

Скорочено кажуть: Квадрат гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів катетів.

Якщо ми дамо отриманій формулі геометричне тлумачення, то отримаємо вже відому теорему Піфагора (п. 161):

квадрат, побудований на гіпотенузі прямокутного трикутника, рівновеликий сумі квадратів, побудованих на катетах.

З рівняння AB 2 + BC 2 = AC 2 іноді доводиться знаходити катет прямокутного трикутника, з гіпотенузи та іншого катету. Отримаємо, наприклад:

AB 2 = AC 2 - BC 2 і, слідів.,

230. Знайдене числове співвідношення між сторонами прямокутного трикутника дозволяє вирішувати безліч обчислювальних задач. Вирішимо деякі з них:

1. Обчислити площу рівностороннього трикутника з даної сторони.

Нехай ∆ABC (чер. 225) рівносторонній та кожна його сторона виражається числом a (AB = BC = AC = a). Для обчислення площі цього трикутника треба з'ясувати спочатку його висоту BD, яку ми назвемо через h. Ми знаємо, що в рівносторонньому трикутнику висота BD ділить основу AC навпіл, тобто AD = DC = a/2. Тому із прямокутного трикутника DBC маємо:

BD 2 = BC 2 - DC 2

h 2 = a 2 – a 2 /4 = 3a 2 /4 (виконуємо віднімання).

Звідси маємо:

(Виносимо множник з-під кореня).

Отже, називаючи число, яке виражає площу нашого трикутника, через Q і знаючи, що площа ∆ABC = (AC · BD)/2, знаходимо:

Ми можемо дивитися на цю формулу, як на один із способів вимірювання площі рівностороннього трикутника: треба виміряти його бік у лінійних одиницях, звести знайдене число у квадрат, помножити отримане число на √3 та розділити на 4 - отримаємо вираз площі у квадратних (відповідних) одиницях.
2. Сторони трикутника дорівнюють 10, 17 та 21 лін. єдиний. Обчислити його площу.

Опустимо висоту h у нашому трикутнику (чер. 226) на більшу сторону - вона неодмінно пройде всередині трикутника, тому що в трикутнику тупий кут може бути розташований тільки проти більшої сторони. Тоді велика сторона, = 21, розділиться на два відрізки, один з яких позначимо через x (див. креслення) - тоді інший = 21 - x. Отримаємо два прямокутні трикутники, з яких маємо:

h 2 = 10 2 - x 2 і h 2 = 17 2 - (21 - x) 2

Оскільки ліві частини цих рівнянь однакові, то

10 2 - x 2 = 17 2 - (21 - x) 2

Виконуючи дії отримаємо:

10 2 - x 2 = 289 - 441 + 42x - x 2

Спрощуючи це рівняння, знайдемо:

Тоді з рівняння h 2 = 10 2 - x 2 отримаємо:

h 2 = 10 2 - 6 2 = 64

і, отже,

Тоді потрібна площа знайдеться:

Q = (21 · 8) / 2 квад. єдиний. = 84 квад. єдиний.

3. Можна вирішити загальне завдання:

як обчислити площу трикутника з його сторін?

Нехай сторони трикутника ABC виражені числами BC = a, AC = b та AB = c (чер. 227). Припустимо, що AC є велика сторона; тоді висота BD піде всередині ABC. Назвемо: BD = h, DC = x, і тоді AD = b – x.

З BDC маємо: h 2 = a 2 – x 2 .

З ∆ABD маємо: h 2 = c 2 – (b – x) 2 ,

звідки a 2 - x 2 = c 2 - (b - x) 2 .

Вирішуючи це рівняння, послідовно отримуємо:

2bx = a 2 + b 2 – c 2 та x = (a 2 + b 2 – c 2)/2b.

(Останнє написано на тій підставі, що чисельника 4a 2 b 2 – (a 2 + b 2 – c 2) 2 можна розглядати як рівність квадратів, яку розкладаємо на добуток суми на різницю).

Цю формулу перетворюють, вводячи периметр трикутника, який позначимо через 2p, тобто.

Віднімаючи по 2c з обох частин рівності, отримаємо:

a + b + c – 2c = 2p – 2c або a + b – c = 2(p – c):

Також знайдемо:

c + a – b = 2(p – b) та c – a + b = 2(p – a).

Тоді отримаємо:

(p виражає напівпериметр трикутника).
Цю формулу можна використовувати для обчислення площі трикутника по трьох його сторонах.

231. Вправи.

232. У п. 229 знайшли залежність між сторонами прямокутного трикутника. Можна знайти подібну залежність для сторін (з приєднанням ще одного відрізка) косоугольного трикутника.

Нехай маємо спочатку ∆ABC (чер. 228) такий, щоб ∠A був гострий. Постараємося знайти вираз для квадрата сторони BC, що лежить проти цього гострого кута (подібно до того, як у п. 229 знайшли вираз для квадрата гіпотенузи).

Побудувавши BD ⊥ AC, отримаємо із прямокутного трикутника BDC:

BC 2 = BD 2 + DC 2

Замінимо BD2, визначаючи його з ABD, звідки маємо:

BD 2 = AB 2 - AD 2

а відрізок DC замінимо через AC – AD (очевидно, що DC = AC – AD). Тоді отримаємо:

BC 2 = AB 2 - AD 2 + (AC - AD) 2 = AB 2 - AD 2 + AC 2 - 2AC · AD + AD 2

Виконавши приведення таких членів, знайдемо:

BC 2 = AB 2 + AC 2 - 2AC · AD.

Ця формула читається: квадрат сторони трикутника, що лежить проти гострого кута, дорівнює сумі квадратів двох його інших сторін, мінус подвоєний добуток однієї з цих сторін на її відрізок від вершини гострого кута до висоти.

233. Нехай тепер ∠A і ∆ABC (чер. 229) тупий. Знайдемо вираз для квадрата сторони BC, що лежить проти тупого кута.

Побудувавши висоту BD - вона тепер розташується дещо інакше: на 228 де ∠A гострий, точки D і C розташовуються по одну сторону від A, а тут, де ∠A тупий, точки D і C розташуються по різні боки від A. Тоді з прямокутного ∆BDC отримаємо:

BC 2 = BD 2 + DC 2

Ми можемо замінити BD2, визначаючи його з прямокутного ∆BDA:

BD 2 = AB 2 - AD 2

а відрізок DC = AC + AD, що очевидно. Замінюючи, отримаємо:

BC 2 = AB 2 - AD 2 + (AC + AD) 2 = AB 2 - AD 2 + AC 2 + 2AC · AD + AD 2

Виконуючи приведення таких членів знайдемо:

BC 2 = AB 2 + AC 2 + 2AC · AD,

тобто. квадрат сторони трикутника, що лежить проти тупого кута, дорівнює сумі квадратів двох його інших сторін, плюс подвійний добуток однієї з них на її відрізок від вершини тупого кута до висоти.
Ця формула, так само як і формула п. 232, допускають геометричне тлумачення, яке легко знайти.

234. Користуючись властивостями пп. 229, 232, 233, ми можемо, якщо нам дані сторони трикутника в числах, дізнатися, чи є у цього трикутника прямий або тупий кут.

Прямий або тупий кут у трикутнику може бути розташований лише проти більшої сторони, який же кут проти неї легко дізнатися: цей кут гострий, прямий або тупий, дивлячись по тому, чи буде квадрат більшої сторони менше, дорівнює або більше суми квадратів двох інших сторін .

Дізнатися, чи є прямий або тупий кут у наступних трикутниках, що визначаються своїми сторонами:

1) 15 дм., 13 дм. та 14 дм.; 2) 20, 29 та 21; 3) 11, 8 та 13; 4) 7, 11 та 15.

235. Нехай маємо паралелограм ABCD (чер. 230); побудуємо його діагоналі AC і BD та його висоти BK ⊥ AD та CL ⊥ AD.

Тоді, якщо ∠A (∠BAD) гострий, то ∠D (∠ADC) неодмінно тупий (бо їх сума = 2d). З ∆ABD, де ∠A вважаємо гострим, маємо:

BD 2 = AB 2 + AD 2 - 2AD · AK,

а з ∆ACD, де ∠D тупий, маємо:

AC 2 = AD 2 + CD 2 + 2AD · DL.

Замінимо в останній формулі відрізок AD рівним йому відрізком BC і DL рівним йому AK (DL = AK, тому що ∆ABK = ∆DCL, у чому легко переконатися). Тоді отримаємо:

AC2 = BC2 + CD2 + 2AD · AK.

Склавши вираз для BD2 з останнім виразом для AC 2 знайдемо:

BD 2 + AC 2 = AB 2 + AD 2 + BC 2 + CD 2

оскільки члени -2AD · AK та +2AD · AK взаємно знищуються. Отриману рівність можемо прочитати:

Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін.

236. Обчислення медіани та біссектора трикутника з його боків. Нехай у трикутнику ABC (чер. 231) побудовано медіану BM (тобто AM = MC). Знаючи сторони ∆ABC: ​​BC = a, AC = b та AB = c, обчислити медіану BM.

Продовжимо BM та відкладемо відрізок MD = BM. З'єднавши D з A і D з C, отримаємо паралелограм ABCD (з'ясувати це легко, оскільки ∆AMD = ∆BMC та ∆AMB = ∆DMC).

Називаючи медіану BM через m, отримаємо BD = 2m і тоді, користуючись попереднім п., маємо:

237. Обчислення радіусу, описаного біля трикутника кола. Нехай близько ∆ABC (чер. 233) описано коло O. Побудуємо діаметр кола BD, хорду AD та висоту трикутника BH.

Тоді ∆ABD ~ ∆BCH (∠A = ∠H = d - кут A прямий, тому що він вписаний, що спирається на діаметр BD і ∠D = ∠C, як вписані, що спираються на одну дугу AB). Тому маємо:

або, називаючи радіус OB через R, висоту BH через h і сторони AB і BC, як і раніше, відповідно через c і a:

але площа ABC = Q = bh/2, звідки h = 2Q/b.

Отже, R = (abc)/(4Q).

Ми вміємо (п. 230 зад. 3) обчислювати площу трикутника Q з його боків. Звідси можемо обчислити R з трьох сторін трикутника.

238. Обчислення радіусу вписаного в трикутник кола. Впишемо в ∆ABC, сторони якого дано (чер. 234), коло O. З'єднавши його центр O з вершинами трикутника і з точками дотику D, E і F сторін до кола, знайдемо, що радіуси кола OD, OE і OF служать висотами трикутників BOC, COA та AOB.

Називаючи радіус вписаного кола через r, маємо:

Як правило, два трикутники вважаються подібними, якщо вони мають однакову форму, навіть якщо вони відрізняються розмірами, повернуті або навіть перевернуті.

Математичне уявлення двох подібних трикутників A 1 B 1 C 1 і A 2 B 2 C 2 показаних на малюнку записується наступним чином:

ΔA 1 B 1 C 1 ~ ΔA 2 B 2 C 2

Два трикутники є подібними якщо:

1. Кожен кут одного трикутника дорівнює відповідному куту іншого трикутника:
∠A 1 = ∠A 2 , ∠B 1 = ∠B 2і ∠C 1 = ∠C 2

2. Відносини сторін одного трикутника до відповідних сторін іншого трикутника рівні між собою:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. Відносини двох сторінодного трикутника до відповідних сторін іншого трикутника рівні між собою і при цьому
кути між цими сторонами рівні:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ і $\angle A_1 = \angle A_2$
або
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ і $\angle B_1 = \angle B_2$
або
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ і $\angle C_1 = \angle C_2$

Не потрібно плутати такі трикутники з рівними трикутниками. У рівних трикутників дорівнюють відповідні довжини сторін. Тому для рівних трикутників:

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

З цього випливає, що всі рівні трикутники є подібними. Проте чи всі подібні трикутники є рівними.

Незважаючи на те, що вищенаведений запис показує, що для з'ясування, чи є два трикутники подібними чи ні, нам повинні бути відомі величини трьох кутів або довжини трьох сторін кожного трикутника, для вирішення завдань з подібними трикутниками достатньо знати будь-які три величини із зазначених вище кожного трикутника. Ці величини можуть становити різні комбінації:

1) три кути кожного трикутника (довжини сторін трикутників знати не потрібно).

Або хоча б 2 кути одного трикутника повинні дорівнювати 2-м кутам іншого трикутника.
Так як якщо 2 кути рівні, то третій кут також буде рівним.

2) довжини сторін кожного трикутника (кути знати не потрібно);

3) довжини двох сторін та кут між ними.

Далі ми розглянемо вирішення деяких завдань із подібними трикутниками. Спочатку ми розглянемо завдання, які можна вирішити безпосереднім використанням вищезгаданих правил, а потім обговоримо деякі практичні завдання, які вирішуються за методом таких трикутників.

Практичні завдання із подібними трикутниками

Приклад №1: Покажіть, що два трикутники на малюнку внизу подібні.

Рішення:
Оскільки довжини сторін обох трикутників відомі, тут можна застосувати друге правило:

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC) )=\frac(15)(5)=3$

Приклад №2: Покажіть, що два даних трикутника є подібними та визначте довжини сторін PQі PR.

Рішення:
∠A = ∠Pі ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(оскільки ∠C = 180 - ∠A - ∠B і ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)

З цього випливає, що трикутники ABC і PQR подібні. Отже:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8 $ та
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14 $

Приклад №3: Визначте довжину ABу цьому трикутнику.

Рішення:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AEDі ∠Aзагальний => трикутники ΔABCі ΔADEє подібними.

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \Rightarrow 2\times AB = AB + 4 \Rightarrow AB = 4$

Приклад №4: Визначити довжину AD(x)геометричних фігур на малюнку.

Трикутники ΔABC і ΔCDE є подібними, оскільки AB || DE та у них загальний верхній кут C.
Ми бачимо, що один трикутник є масштабованою версією іншого. Однак нам потрібно це довести математично.

AB || DE, CD || AC та BC || EC
∠BAC = ∠EDC та ∠ABC = ∠DEC

Виходячи з вищевикладеного та враховуючи наявність загального кута C, ми можемо стверджувати, що трикутники ABC і CDE подібні.

Отже:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rightarrow CA = \frac(15 \times 11)(7 ) = 23.57 $
x = AC - DC = 23.57 - 15 = 8.57

Практичні приклади

Приклад №5: На фабриці використовується похила конвейєрна стрічка для транспортування продукції з рівня 1 на рівень 2, який вище за рівень 1 на 3 метри, як показано на малюнку. Похилий конвейєр обслуговується з одного кінця рівня 1 і з іншого кінця до робочого місця, розташованого на відстані 8 метрів від робочої точки рівня 1.

Фабрика хоче модернізувати конвейєр для доступу до нового рівня, що знаходиться на відстані 9 метрів над рівнем 1, і зберегти кут нахилу конвейєра.

Визначте відстань, на якій потрібно встановити новий робочий пункт для забезпечення роботи конвейєра на новому кінці на рівні 2. Також обчисліть додаткову відстань, яку пройде продукція при переміщенні на новий рівень.

Рішення:

Для початку позначимо кожну точку перетину певною літерою, як показано на малюнку.

Виходячи з міркувань, наведених вище в попередніх прикладах, ми можемо зробити висновок про те, що трикутники ABC і ADE є подібними. Отже,

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Rightarrow AB = \frac(8 \times 9)(3 ) = 24 м $
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 м

Таким чином, новий пункт має бути встановлений на відстані 16 метрів від існуючого пункту.

Оскільки конструкція складається з прямокутних трикутників, ми можемо обчислити відстань переміщення продукції так:

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8.54 м$

Аналогічно, $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25.63 м$
що є відстанню, яку проходить продукція в даний момент при попаданні на існуючий рівень.

y = AC - AE = 25.63 - 8.54 = 17.09 м
це додаткова відстань, яку має пройти продукція задля досягнення нового рівня.

Приклад №6: Стів хоче відвідати свого приятеля, який нещодавно переїхав до нового будинку. Дорожня карта проїзду до будинку Стіва та його приятеля разом із відомими Стіву відстанями показана на малюнку. Допоможіть Стіву дістатися до будинку його приятеля найкоротшим шляхом.

Рішення:

Дорожню карту можна геометрично подати у такому вигляді, як показано на малюнку.

Ми бачимо, що трикутники ΔABC і ΔCDE подібні, отже:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

За умови завдання сказано, що:

AB = 15 км, AC = 13.13 км, CD = 4.41 км та DE = 5 км

Використовуючи цю інформацію, ми можемо обчислити такі відстані:

$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4.41)(5) = 13.23 км$
$CE = \frac(AC \times CD)(BC) = \frac(13.13 \times 4.41)(13.23) = 4.38 км$

Стів може дістатися до будинку свого друга за такими маршрутами:

A -> B -> C -> E -> G, сумарна відстань дорівнює 7.5+13.23+4.38+2.5=27.61 км

F -> B -> C -> D -> G, сумарна відстань дорівнює 7.5+13.23+4.41+2.5=27.64 км

F -> A -> C -> E -> G, сумарна відстань дорівнює 7.5+13.13+4.38+2.5=27.51 км

F -> A -> C -> D -> G, сумарна відстань дорівнює 7.5+13.13+4.41+2.5=27.54 км

Отже, маршрут №3 є найкоротшим і може бути запропонований Стіву.

Приклад 7:
Тріша хоче виміряти висоту будинку, але не має потрібних інструментів. Вона зауважила, що перед будинком росте дерево і вирішила застосувати свою винахідливість та знання геометрії, отримані у школі, для визначення висоти будівлі. Вона виміряла відстань від дерева до будинку, результат склав 30 м. Потім вона стала перед деревом і почала відходити назад, поки верхній край будівлі став видно над верхівкою дерева. Тріша відзначила це місце та виміряла відстань від нього до дерева. Ця відстань становила 5 м.

Висота дерева дорівнює 2.8 м, а висота рівня очей Тріші дорівнює 1.6 м. Допоможіть Тріше визначити висоту будівлі.

Рішення:

Геометричне уявлення задачі показано малюнку.

Спочатку ми використовуємо подібність трикутників ABC і ADE.

$\frac(BC)(DE) = \frac(1.6)(2.8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Rightarrow 2.8 \times AC = 1.6 \times (5 + AC) = 8 + 1.6 \times AC$

$(2.8 - 1.6) \times AC = 8 \Rightarrow AC = \frac(8)(1.2) = 6.67$

Потім ми можемо використовувати подібність трикутників ΔACB і ΔAFG або ADE і AFG. Давайте оберемо перший варіант.

$\frac(BC)(FG) = \frac(1.6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6.67)(6.67 + 5 + 30) = 0.16 \Rightarrow H = \frac(1.6 ) (0.16) = 10 м $

Найпростіший багатокутник, який вивчається у школі – це трикутник. Він зрозуміліший для учнів і зустрічає менше труднощів. Незважаючи на те, що існують різні види трикутників, у яких є особливі властивості.

Яка постать називається трикутником?

Утворена трьома точками та відрізками. Перші називаються вершинами, другі - сторонами. Причому всі три відрізки мають бути з'єднані, щоб між ними утворювалися кути. Звідси і назва фігури "трикутник".

Відмінності в назвах за кутами

Оскільки вони можуть бути гострими, тупими та прямими, то й види трикутників визначаються за цими назвами. Відповідно, груп таких постатей три.

• Перший. Якщо всі кути трикутника гострі, то він матиме назву гострокутного. Все логічно.

• Друга. Один із кутів тупий, отже трикутник тупокутний. Простіше нікуди.

• Третій. Є кут, що дорівнює 90 градусам, який називається прямим. Трикутник стає прямокутним.

Відмінності в назвах на всі боки

Залежно від особливостей сторін виділяють такі види трикутників:

загальний випадок - різнобічний, у якому всі сторони мають довільну довжину;

рівнобедрений, у двох сторін якого є однакові числові значення;

рівносторонній, довжини всіх сторін однакові.

Якщо задачі не вказано конкретний вид трикутника, потрібно креслити довільний. У якого всі кути гострі, а сторони мають різну довжину.

Властивості, загальні всім трикутників

1. Якщо скласти всі кути трикутника, то вийде число 180º. І неважливо, якого він вигляду. Це правило діє завжди.
2. Числове значення будь-якої сторони трикутника менше, ніж складені разом дві інші. При цьому вона ж більша, ніж їхня різниця.
3. Кожен зовнішній кут має значення, яке виходить при складанні двох внутрішніх, не суміжних із ним. Причому він завжди більший, ніж суміжний із ним внутрішній.
4. Навпроти меншої сторони трикутника завжди лежить найменший кут. І навпаки, якщо сторона велика, то й кут буде найбільшим.

Ці властивості справедливі завжди, які види трикутників не розглядалися в задачах. Всі інші випливають із конкретних особливостей.

Властивості рівнобедреного трикутника

• Кути, які прилягають до основи, рівні.
• Висота, яка проведена до основи, є також медіаною та бісектрисою.
• Висоти, медіани та бісектриси, які побудовані до бокових сторін трикутника, відповідно дорівнюють один одному.

Властивості рівностороннього трикутника

Якщо є така фігура, то будуть вірні всі властивості, описані трохи вище. Тому що рівносторонній завжди буде рівнобедреним. Але не навпаки, рівнобедрений трикутник не обов'язково буде рівностороннім.

• Усі його кути дорівнюють один одному і мають значення 60º.
• Будь-яка медіана рівностороннього трикутника є його висотою та бісектрисою. Причому всі вони рівні один одному. Для визначення їх значень існує формула, що складається з добутку на квадратний корінь із 3, поділеного на 2.

Властивості прямокутного трикутника

• Два гострі кути дають у сумі значення 90º.
• Довжина гіпотенузи завжди більша, ніж у будь-якого з катетів.
• Числове значення медіани, проведеної до гіпотенузи, дорівнює її половині.
• Цьому ж значення дорівнює катет, якщо він лежить навпроти кута в 30º.
• Висота, проведена з вершини зі значенням 90º, має певну математичну залежність від катетів: 1/н ​​2 = 1/а 2 + 1/в 2 . Тут: а, в – катети, н – висота.

Завдання з різними видами трикутників

№1. Дано рівнобедрений трикутник. Його периметр відомий і дорівнює 90 см. Потрібно впізнати його сторони. Як додаткова умова: бічна сторона менша за основу в 1,2 рази.

Значення периметра безпосередньо залежить від величин, які потрібно знайти. Сума всіх трьох сторін і дасть 90 см. Тепер слід згадати ознаку трикутника, за яким він є рівнобедреним. Тобто дві сторони рівні. Можна скласти рівняння з двома невідомими: 2а + в = 90. Тут а – бічна сторона, в – основа.

Настала черга додаткової умови. Наслідуючи його, виходить друге рівняння: в = 1,2а. Можна виконати підстановку цього виразу перше. Вийде: 2а + 1,2а = 90. Після перетворень: 3,2а = 90. Звідси а = 28,125 (см). Тепер неважко дізнатися про основу. Найкраще це зробити з другої умови: = 1,2 * 28,125 = 33,75 (см).

Для перевірки можна скласти три значення: 28,125*2+33,75=90 (см). Все вірно.

Відповідь: сторони трикутника дорівнюють 28,125 см, 28,125 см, 33,75 см.

№2. Сторона рівностороннього трикутника дорівнює 12 см. Потрібно обчислити його висоту.

Рішення. Для пошуку відповіді достатньо повернутися на той момент, де були описані властивості трикутника. Так зазначено формулу для знаходження висоти, медіани та бісектриси рівностороннього трикутника.

н = а * √3/2, де н – висота, а – сторона.

Підстановка та обчислення дають такий результат: н = 6 √3 (см).

Цю формулу необов'язково запам'ятовувати. Досить, що висота ділить трикутник на два прямокутних. Причому вона виявляється катетом, а гіпотенуза в ньому це сторона вихідного, другий катет - половина відомої сторони. Тепер потрібно записати теорему Піфагора та вивести формулу для висоти.

Відповідь: висота дорівнює 6 √3 см.

№3. Дан МКР - трикутник, 90 градусів у якому становить кут К. Відомі сторони МР і КР, вони рівні відповідно 30 і 15 см. Потрібно дізнатися значення кута Р.

Рішення. Якщо зробити креслення, стає ясно, що МР — гіпотенуза. Причому вона вдвічі більша за катет КР. Знову слід звернутися до властивостей. Одне з них пов'язане з кутами. З нього зрозуміло, що кут КМР дорівнює 30 º. Значить шуканий кут Р дорівнюватиме 60º. Це випливає з іншої властивості, яка стверджує, що сума двох гострих кутів має дорівнювати 90 º.

Відповідь: кут Р дорівнює 60 º.

№4. Потрібно знайти всі кути рівнобедреного трикутника. Про нього відомо, що зовнішній кут від кута на підставі дорівнює 110º.

Рішення. Оскільки даний лише зовнішній кут, то цим і потрібно скористатися. Він утворює з внутрішнім кутом розгорнутий. Значить у сумі вони дадуть 180 º. Тобто кут при основі трикутника дорівнюватиме 70º. Так як він рівнобедрений, то другий кут має таке саме значення. Залишилося вирахувати третій кут. За якістю, загальною всім трикутників, сума кутів дорівнює 180º. Отже, третій визначиться як 180 º - 70 º - 70 º = 40 º.

Відповідь: кути дорівнюють 70º, 70º, 40º.

№5. Відомо, що в рівнобедреному трикутнику кут, що лежить навпроти основи, дорівнює 90º. На підставі зазначено крапку. Відрізок, що з'єднує її з прямим кутом, ділить його щодо 1 до 4. Потрібно дізнатися про всі кути меншого трикутника.

Рішення. Один із кутів можна визначити відразу. Оскільки трикутник прямокутний і рівнобедрений, ті, що лежать біля його основи, будуть по 45º, тобто по 90º/2.

Другий із них допоможе знайти відоме в умові ставлення. Оскільки воно дорівнює 1 до 4, то частин, на які він ділиться, виходить всього 5. Значить, щоб дізнатися менший кут трикутника потрібно 90º/5 = 18º. Залишилось дізнатися третій. Для цього від 180º (суми всіх кутів трикутника) потрібно відняти 45º та 18º. Обчислення нескладні і вийде: 117º.

Стандартні позначення

Трикутник з вершинами A, Bі Cпозначається як (див. мал.). Трикутник має три сторони:

Довжини сторін трикутника позначаються малими латинськими літерами (a, b, c):

Трикутник має такі кути:

Величини кутів за відповідних вершин традиційно позначаються грецькими літерами (α, β, γ).

Ознаки рівності трикутників

Трикутник на евклідовій площині однозначно (з точністю до конгруентності) можна визначити за наступними трійками основних елементів:

1. a, b, γ (рівність з двох сторін і куту, що лежить між ними);
2. a, β, γ (рівність по стороні та двом прилеглим кутам);
3. a, b, c (рівність з трьох сторін).

Ознаки рівності прямокутних трикутників:

1. по катету та гіпотенузі;
2. за двома катетами;
3. по катету та гострому куту;
4. з гіпотенузи та гострого кута.

Деякі точки у трикутнику – «парні». Наприклад, існує дві точки, з яких всі сторони видно або під кутом 60°, або під кутом 120°. Вони називаються точками Торрічеллі. Також існує дві точки, проекції яких сторони лежать у вершинах правильного трикутника. Це - точки Аполлонія. Крапки і такі, що називаються точками Брокара.

Прямі

У будь-якому трикутнику центр ваги, ортоцентр і центр описаного кола лежать на одній прямій, званій прямий Ейлера .

Пряма, що проходить через центр описаного кола та точку Лемуана, називається віссю Брокара. На ній лежать точки Аполлонія. Також на одній прямій лежать точки Торрічеллі та точка Лемуана. Основи зовнішніх бісектрис кутів трикутника лежать на одній прямій, званій віссю зовнішніх бісектрис. На одній прямій лежать також точки перетину прямих, що містять сторони ортотрикутника, з прямими сторонами трикутника, що містять. Ця пряма називається ортоцентричною віссю, вона перпендикулярна до прямої Ейлера.

Якщо на описаному колі трикутника взяти крапку, то її проекції на сторони трикутника лежатимуть на одній прямій, званій прямий Сімсона цієї точки. Прямі Сімсона діаметрально протилежних точок перпендикулярні.

Трикутники

• Трикутник з вершинами в основах чевіан, проведених через дану точку, називається чевіанним трикутникомцієї точки.
• Трикутник з вершинами в проекціях даної точки на сторони називається подернимабо педальним трикутникомцієї точки.
• Трикутник у вершинах у других точках перетину прямих, проведених через вершини і дану точку, з описаним колом, називають окружно-чевіанним трикутником. Окружно-чевіанний трикутник подібний до подерного.

Кола

• Вписане коло - коло, що стосується всіх трьох сторін трикутника. Вона єдина. Центр вписаного кола називається інцентром .
• Описане коло - Коло, що проходить через всі три вершини трикутника. Описане коло також єдине.
• Вписане коло - коло, що стосується однієї сторони трикутника та продовження двох інших сторін. Таких кіл у трикутнику три. Їх радикальний центр- центр вписаного кола серединного трикутника, званий точкою Шпікера.

Середини трьох сторін трикутника, основи трьох його висот і середини трьох відрізків, що з'єднують його вершини з ортоцентром, лежать на одному колі, що називається коло дев'яти точок або колом Ейлера. Центр кола дев'яти точок лежить на прямій Ейлера. Окружність дев'яти точок стосується вписаного кола і трьох вписаних. Точка торкання вписаного кола та кола дев'яти точок називається точкою Фейєрбаха. Якщо від кожної вершини відкласти назовні трикутника на прямих, що містять сторони, ортезки, рівні по довжині протилежним сторонам, то шість точок, що виходять, лежать на одному колі - кола Конвею. У будь-який трикутник можна вписати три кола таким чином, що кожна з них стосується двох сторін трикутника та двох інших кіл. Такі кола називаються коло Мальфатті. Центри описаних кіл шести трикутників, на які трикутник розбивається медіанами, лежать на одному колі, яке називається коло Ламуна.

У трикутнику є три кола, які стосуються двох сторін трикутника та описаного кола. Такі кола називають напіввписанимиабо колами Верр'єра. Відрізки, що з'єднують точки дотику кіл Верр'єра з описаним колом, перетинаються в одній точці, званій точкою Верр'єра. Вона служить центром гомотетії, яка переводить описане коло у вписане. Точки торкання кіл Верр'єра зі сторонами лежать на прямій, яка проходить через центр вписаного кола.

Відрізки, що з'єднують точки торкання вписаного кола з вершинами, перетинаються в одній точці, яка називається точкою Жергона , а відрізки, що з'єднують вершини з точками дотику до вписаних кіл - в точці Нагеля .

Еліпси, параболи та гіперболи

Вписана коніка (еліпс) та її перспектор

У трикутник можна вписати нескінченно багато коник ( еліпсів , параболабо гіпербол). Якщо в трикутник вписати довільну коніку і з'єднати точки дотику з протилежними вершинами, то прямі перетнуться в одній точці, званій перспекторомконики. Для будь-якої точки площини, що не лежить на боці або її продовженні існує вписана коніка з перспективою в цій точці.

Описаний еліпс Штейнера та чевіани, що проходять через його фокуси

У трикутник можна вписати еліпс, що стосується сторін у серединах. Такий еліпс називається вписаним еліпсом Штейнера(Його перспективником буде центроїд трикутника). Описаний еліпс, що стосується прямих, що проходять через вершини паралельно сторонам, називається описаним еліпсом Штейнера. Якщо афінним перетворенням(«перекосом») перевести трикутник у правильний, то його вписаний та описаний еліпс Штейнера перейдуть у вписане та описане коло. Чевіани, проведені через фокуси описаного еліпса Штейнер (точки Скутіна), рівні (теорема Скутіна). З усіх описаних еліпсів описаний еліпс Штейнер має найменшу площу, а з усіх вписаних найбільшу площу має вписаний еліпс Штейнера.

Еліпс Брокара та його перспективник - точка Лемуана

Еліпс з фокусами в точках Брокара називається еліпсом Брокара. Його перспективою є точка Лемуана.

Властивості вписаної параболи

Парабола Кіперта

Перспектори вписаних парабол лежать на описаному еліпсі Штейнера. Фокус вписаної параболи лежить на описаному колі, а директриса проходить через ортоцентр. Парабола, вписана в трикутник, що має директрису пряму Ейлера, називається параболою Кіперта. Її перспектор - четверта точка перетину описаного кола та описаного еліпса Штейнера, звана точкою Штейнера.

Гіпербола Кіперта

Якщо описана гіпербола проходить через точку перетину висот, вона рівностороння (тобто її асимптоти перпендикулярні). Точка перетину асимптот рівносторонньої гіперболи лежить на колі дев'яти точок.

Перетворення

Якщо прямі, що проходять через вершини та деяку точку, що не лежить на сторонах та їх продовженнях, відобразити щодо відповідних бісектрис, то їх образи також перетнуться в одній точці, яка називається ізогонально сполученої вихідної (якщо точка лежала на описаному колі, то прямі будуть паралельні). Ізгонально сполученими є багато пар чудових точок: центр описаного кола та ортоцентр, центроїд та точка Лемуана, точки Брокара. Крапки Аполлонія ізгонально пов'язані точкам Торрічеллі, а центр вписаного кола ізогонально пов'язаний сам собі. Під дією ізогонального сполучення прямі переходять в описані коніки, а описані коніки - у прямі. Так, ізогонально пов'язані гіпербола Кіперта і вісь Брокара, гіпербола Енжабека і пряма Ейлера, гіпербола Фейєрбаха та лінія центрів, вписаних про описані кола. Описані кола подерних трикутників ізгонально сполучених точок збігаються. Фокуси вписаних еліпсів ізгонально пов'язані.

Якщо замість симетричної чевіани брати чевіану, основа якої віддалена від середини сторони так само, як і основа вихідної, такі чевіани також перетнуться в одній точці. Перетворення, що вийшло, називається ізотомічним сполученням. Воно також переводить прямі описані коніки. Ізотомічно пов'язані точки Жергона та Нагеля. При афінних перетвореннях ізотомічно сполучені точки переходять в ізотомічно сполучені. При ізотомічному поєднанні в нескінченно віддалену пряму перейде описаний еліпс Штейнера.

Якщо сегменти, що відсікаються сторонами трикутника від описаного кола, вписати кола, що стосуються сторін в підставах чевіан, проведених через деяку точку, а потім з'єднати точки торкання цих кіл з описаним колом з протилежними вершинами, такі прямі перетинаються в одній точці. Перетворення площини, що співставляє вихідній точці, називається ізоциркулярним перетворенням. Композиція ізогонального та ізотомічного сполучення є композицією ізоциркулярного перетворення з самим собою. Ця композиція - проективне перетворення, яке сторони трикутника залишає на місці, а вісь зовнішніх бісектрис переводить у нескінченно віддалену пряму.

Якщо продовжити сторони чевіанного трикутника деякої точки і взяти їх точки перетину з відповідними сторонами, то отримані точки перетину лежатимуть на одній прямій, званій трилінійною поляроювихідної точки. Ортоцентрична вісь – трилінійна поляра ортоцентру; Трилінійною полярною центру вписаного кола служить вісь зовнішніх бісектрис. Трилінійні поляри точок, що лежать на описаній коніці, перетинаються в одній точці (для описаного кола це точка Лемуана, для описаного еліпса Штейнер - центроїд). Композиція ізогонального (або ізотомічного) сполучення і трилінійної поляри є перетворенням двоїстості (якщо точка, ізогонально (ізотомічно) сполучена точці , лежить на трилінійній полярі точки , то трилінійна поляра точки, ізогонально (ізотомічно) спряженої точки).

Кубики

Співвідношення у трикутнику

Примітка:у цьому розділі , , - це довжини трьох сторін трикутника, і , , - це кути, що лежать відповідно навпроти цих трьох сторін (протилежні кути).

Нерівність трикутника

У невиродженому трикутнику сума довжин двох сторін більше довжини третьої сторони, у виродженому - дорівнює. Інакше висловлюючись, довжини сторін трикутника пов'язані наступними нерівностями:

Нерівність трикутника є однією з аксіом метрики.

Теорема про суму кутів трикутника

Теорема синусів

де R - радіус кола, описаного навколо трикутника. З теореми випливає, що якщо a< b < c, то α < β < γ.

Теорема косінусів

Теорема тангенсів

Інші співвідношення

Метричні співвідношення в трикутнику наведені для:

Рішення трикутників

Обчислення невідомих сторін та кутів трикутника, виходячи з відомих, історично отримало назву «вирішення трикутників». При цьому використовуються наведені загальні тригонометричні теореми.

Площа трикутника

Для площі справедливі нерівності:

Обчислення площі трикутника у просторі за допомогою векторів

Нехай вершини трикутника перебувають у точках , , .

Введемо вектор площі. Довжина цього вектора дорівнює площі трикутника, а спрямований по нормалі до площини трикутника:

Покладемо , де , - проекції трикутника на координатні площини. При цьому

та аналогічно

Площа трикутника дорівнює.

Альтернативою служить обчислення довжин сторін (за теоремі Піфагора) і далі по формулі Герона.

Теореми про трикутники

Теорема Дезаргу Якщо два трикутники перспективні (прямі, що проходять через відповідні вершини трикутників, перетинаються в одній точці), то їх відповідні сторони перетинаються на одній прямій.

Теорема Сонда: якщо два трикутники перспективні і ортологічні (перпендикуляри, опущені з вершин одного трикутника на сторони, протилежні відповідним вершинам трикутника, і навпаки), то обидва центри ортології (точки перетину цих перпендикулярів) і центр перспективи лежать на одній прямій, перпендикулярній з теореми Дезарга).